Reverberation in Spherical Rooms with Nonuniform Absorption

The reverberation time of a room can be found as an eigenvalue of Kuttruff s integral equation. Because the integral equation is difficult, exact reverberation times are known only for very simple rooms. Here the room is a diffusely reflecting sphere, but with an absorption coefficient α (P) that varies with position P on the sphere's surface. This room, an oversimplified model of real rooms, allows two interesting comparisons. One is between the room's true reverberation time and that predicted by the usual approximate formulas of Sabine, Eyring et al. Another comparison shows the effect on reverberation time of changing the distribution of absorption, keeping the surface average α of α (P) constant. Redistributing the absorption makes noticeable differences, but not as striking as the differences that Schroeder and Hackman obtained in two-dimensional rectangular examples. To check whether the dimension was an important factor, this paper also solves analogous problems of reverberation of a circular “room” in the plane. The results suggest that two-dimensional solutions may have been more sensitive than three-dimensional solutions to the distribution of absorption.

Zusammenfassung

Die Nachhallzeit eines Raumes kann als Eigenwert der KuttrufTschen Integralgleichung ermittelt werden. Wegen der Schwierigkeit der Integralgleichung kennt man genaue Nachhallzeiten nur für sehr einfache Räume. Im vorliegenden Fall ist der Raum eine diffus reflektierende Kugeläderen Absorptionsgrad α (P) von der Lage des Punkts P auf der Kugelfläche abhängt. Dieser Raum, der ein stark vereinfachtes Modell realer Räume darstellt, erlaubt zwei interessante Vergleiche. Der eine ist der zwischen seiner wahren und der nach den üblichen Näherungsformeln von Sabine, Eyring usw. berechneten Nachhallzeit. Ein anderer Vergleich zeigt die Wirkung wechselnder Absorptionsverteilungen auf die Nachhallzeit, wobei der Flächenmittelwert α von α (P) konstant gehalten wird. Eine Umverteilung der Absorption ergibt merkliche Unterschiede, die allerdings nicht so stark sind wie die von Schroeder und Hackman in zweidimensionalen Rechteckräumen erhaltenen. Um zu überprüfen, ob die Dimensionszahl ein wichtiger Faktor ist, wird in dieser Arbeit auch das analoge Problem des Nachhalls in einem kreisförmigen ,,Raum“ gelöst. Die Ergebnisse weisen darauf hin, daß zweidimensionale Lösungen noch empfindlicher als dreidimensionale auf die Verteilung der Absorption reagieren.

Sommaire

La durée de réverbération d'une salle est une valeur propre d'une équation intégrale établie par Kuttruff. Comme cette équation intégrale est difficile à traiter, les valeurs exactes des durées de reverbération ne sont connues que pour un petit nombre de salles de formes très simples. Dans l'exemple traité ici, la salle a la forme d'une sphère avec une paroi diffusante dont le coefficient d'absorption α (P) varie avec la position du point P sur la surface de la sphère.

Un tel modèle de salle peut paraître un peu trop éloigné des salles réelles. Mais il présente l'avantage réel de permettre deux études comparatives très intéressantes. La première consiste à comparer des valeurs exactes de durées de réverbération avec les valeurs approchées fournies par les formules bien connues de Sabine, d'Eyring et de quelques autres. La seconde consiste à observer les variations de la durée de réverbération en fonction de la distribution du coefficient d'absorption sur la surface, la valeur moyenne α de α(P) étant maintenue constante. La non-uniformité de l'absorption conduit certes à des différences notables des durées de réverbération. Mais ces différences restent bien moindres que celles qui ont été trouvées par Schroeder et Hackman pour des salles rectangulaires bidimensionnelles. On a été ainsi amené à rechercher l'importance du nombre des dimensions de la salle et pour cela on a calculé la réverbération dans une salle circulaire à deux dimensions. Les résultats obtenus laissent à penser que les inégalités dans la distribution du coefficient d'absorption agissent davantage en deux dimensions qu'en trois.