A Discrete Model for Tubular Acoustic Systems with Varying Cross-Section – The Direct and Inverse Problems. Part 2: Experiments

This paper presents experimental methods used to measure the impulse response of brass wind instruments, and presents the results obtained by applying these methods. From the impulse response two more parameters are calculated: the frequency response, and the reconstruction of the instrument's shape, using methods derived in part 1 of this series. Each of these three characteristics are compared to the theoretical values predicted by the two models discussed in part 1: the cylindrical segment model and the conical segment model. Though comparisons in the frequency domain are often found in the literature, comparisons carried out here in the time domain make it possible to localize the areas of the instrument in which the various models are inaccurate. For instance, in comparing the reconstructions of the instrument shapes, the issue of modelling the output impedance is overcome, since the reconstruction is not influenced by reflections from the termination of the instrument.

The comparisons carried out here show that the conical segment model is usually more accurate, but the solution to the inverse problem is very sensitive and therefore not applicable to experimental data. It could be used, however, in instrument design.

One problem in experimental arrangements for carrying out measurements in the time domain is the length of tubing necessary for separating the forward and backward propagating waves. A novel method for overcoming this problem is presented, giving good results at most frequencies.

Finally, a conjecture raised by the authors in a previous paper, regarding the insensitivity of musical horns to the output impedance is checked in the laboratory. The results show that at low frequencies this effect is considerable, but diminishes at higher frequencies.

Zusammenfassung

In dieser Arbeit werden experimentelle Methoden zur Messung der Impulsantwort von Blechblasinstrumenten vorgestellt sowie deren Ergebnisse. Von der Impulsantwort warden zwei weitere Parameter berechnet: Die Frequenzübertragungsfunktion und die Rekonstruktion der Form des Instruments, wobei die im ersten Teil dieser Artikelserie entwickelten Methoden benutzt werden. Jede dieser drei Charakteristiken werden mit den theoretischen Werten verglichen, die mit den beiden im ersten Teil diskutierten Modellen erhalten wurden: dem Modell der Zylinderabschnitte und dem der konischen Abschnitte. Obgleich solche Vergleiche für den Frequenzbereich in der Literatur häufig zu finden sind, kann man durch den Vergleich im Zeitbereich die Abschnitte des Instruments lokalisieren, in welchen die verschiedenen Modelle ungenau sind. Zum Beispiel erweist sich beim Vergleich der rekonstruierten Instrumentenformen die Modellierung der Ausgangsimpedanz als überflüssig, da die Rekonstruktion nicht von Reflexionen am Ende des Instruments beeinflußt wird.

Die hier durchgeführten Vergleiche zeigen, daß das Zylindermodell im allgemeinen genauer ist. Allerdings ist die Lösung des inversen Problems sehr kritisch und kann deshalb nicht auf experimentelle Daten angewandt werden. Es könnte jedoch für den Entwurf von Instrumenten benutzt werden.

Bei den für Messungen im Zeitbereich benutzten experimentellen Anordnungen ist die Länge des Rohrsystems problematisch, die für die Trennung der Vorwärts- und der Rückwartswellen erforderlich ist. Es wird eine neue Methode zur Lüsung dieses Problems vorgestellt, die bei den meisten Frequenzen gute Ergebnisse liefert.

Schließlich wird die von den Autoren in einer früheren Arbeit vermutete Unempfindlichkeit musikalischer Trichter gegenüber der Ausgangsimpedanz im Laboratorium überprüft. Die Ergebnisse zeigen, daß dieser Effekt bei tiefen Frequenzen beträchtlich ist, bei höheren Frequenzen dagegen verschwindet.

Sommaire

Cet article présente des méthodes de mesure de la réponse impulsionnelle d'instruments à vent en cuivre, ainsi que les résultats qu'elles fournissent. A partir de ces réponses impulsionnelles, on calcule deux paramètres supplémentaires: la réponse en fréquence et la forme de l'instrument, reconstruite par les méthodes décrites dans la première partie de cette étude. Chacune de ces trois caractéristiques est comparée aux valeurs théoriques fournies par les deux modèles présentés en première partie: le modèle à segments cylindriques et le modèle à segments coniques. Dans la littérapture on trouve souvent des comparaisons faites dans le domaine fréquentiel, mais les comparaisons que nous faisons sont faites dans le domaine temporel, ce qui permet de localizer les zones de l'instrument dans lesquelles nos modèles sont imprécis. Par exemple, en comparant les formes d'instruments restituées, la question de la modélisation de l'impédance de sortie est résolue puisque la reconstitution ne dépend pas des réflexions aux extrémités de l'instrument.

Les comparaisons que nous présentons ici montrent que le modèle à segments coniques est généralement plus précis, mais nous n'avons pas pu l'appliquer aux données expérimentales pour la résolution du problème inverse. Il pourrait cependant être utilisé pour la conception d'instruments.

L'un des problèmes du montage expérimental utilisé pour les mesures dans le domaine temporel est la longueur de tube nécessaire pour séparer les ondes aller et retour. On présente une nouvelle méthode pour surmonter la difficulté, et les résultats qu'elle fournit sont bons à la plupart des fréquences.

Finalement, nous avons testé une hypothèse faite dans un précédent article sur l'insensibilité des instruments à pavilion à l'impedance de sortie. Les résultats montrent qu'en fait à basse fréquence cet effet est appréciable, mais qu'il diminue aux fréquences supérieures.