# A Discrete Model for Tubular Acoustic Systems with Varying Cross Section – The Direct and Inverse Problems. Part 1: Theory

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This paper presents two discrete lossy models for tubular acoustics systems, along with solutions to the inverse problem. The models discussed discretize the system into short cylindrical or conical segments; though these model are not new, we point out various errors in the way they were dealt with in the past, and extend the mathematical treatment of the latter model, defining a “conical reflection coefficient” at the junction between two conical segments. The models are extended here to account also for viscous and thermal losses at the tube walls, using a method suggested by the authors in a previous paper. The cylindrical segment model is the basis for a filter termed a “lossy digital waveguide filter”, which extends the concept of the digital waveguide filter to account for such losses.

For both models we present algorithms for solving the inverse problem. Though lossy inverse scattering is acknowledged to be a difficult problem in the general case, the properties of the systems examined here enable us to solve the lossy case for both models. The algorithms suggested here are based on the layer peeling algorithm used previously in seismic applications. Whereas the solution for the cylindrical segment model is based quite directly on this method, the solution for the conical segment model is more complicated and, to the best of our knowledge, is presented here for the first time.

Finally, the simulation for a trumpet bell gives very good results. These results are shown to be superior to another method suggested in the literature. Simulation results also show that incorporating losses into the solution is important, without which a sizeable error results.

A following paper will present results of the reconstruction algorithms presented here, applied to experimental data on brass wind instruments.

Zusammenfassung

In dieser Arbeit werden zwei diskrete Modelle für rohrartige akustische Systeme mit Verlusten vorgestellt, zusammen mit Lösungen des inversen Problems. Das System wird in kurze zylindrische oder konische Abschnitte diskretisiert. Obwohl diese Modelle nicht neu sind, wird auf verschiedene Fehler hingewiesen, die früher gemacht wurden. Die mathematische Behandlung des letzteren Modells wird unter Definition eines “konischen Reflexionskoeffizienten” an der Verbindung zwischen zwei konischen Segmenten erweitert. Dabei warden auch viskose und thermische Verluste an den Rohrwandungen mittels einer Methode berücksichtigt, die in einer früheren Arbeit von den Autoren vorgeschlagen wurde. Das Zylindermodell ist die Grundlage für ein Filter, das als “verlustbehaftetes digitales Wellenleiterfilter” bezeichnet wird und welches das Konzept des digitalen Wellenleiterfilters entsprechend erweitert.

Für beide Modelle werden Algorithmen für die Lösung des inversen Modells vorgestellt. Obwohl im allgemeinen das inverse Streuproblem bei Verlusten als schwierig gilt, ermöglichen die Eigenschaften des hier untersuchten Systems eine Lösung für beide Modelle. Die hier vorgeschlagenen Algorithmen beruhen auf dem “layer peeling” – Algorithmus, der schon vorher im seismischen Anwendungen benutzt wurde. Während die Lösung für das Zylindermodell direkt mit dieser Methode gefunden werden kann, ist die Lösung für das konische Modell komplizierter und wird nach unserer Kenntnis hier erstmalig vorgestellt.

Schließlich liefert die Simulation für einen Trompetentrichter sehr gute Ergebnisse. Es wird gezeigt, daß diese Resultate einer anderen, in der Literatur vorgeschlagenen Methode überlegen sind. Die Simulationsergebnisse zeigen auch, daß die Berücksichtigung der Verluste in der Lösung wichtig ist und daß ihre Vernachlässigung zu merklichen Fehlern führt.

In einer nachfolgenden Arbeit werden Ergebnisse des hier vorgestellten Rekonstruktionsalgorithmus mitgeteilt, angewandt auf experimentelle Daten an Blechblasinstrumenten.

Sommaire

Cet article présente deux modèles discrétisés de guides d'ondes avec pertes, ainsi que les solutions du problème inverse. Le principe des modèles est de représenter un guide par une série de segments cylindriques ou coniques. L'idée n'est pas nouvelle mais, d'une part elle a été exploitée de façon erronée dans le passé, et de plus nous élargissons l'analyse mathématique en introduisant la notion de «coefficient de réflexion conique» pour la jonction de deux segments coniques. Les modèles prennent également en compte les pertes visqueuses et thermiques sur les parois des guides, en utilisant une méthode présentée par les auteurs dans un article précédent. Le modèle à segments cylindriques constitue la base d'un filtre appelé «filtre guide d'onde discret à perte», qui étend la notion de filtre guide d'onde discret au cas des guides avec pertes.

Pour les deux modèles, nous présentons des algorithms de résolution du problème inverse. Bien que les problèmes inverses de diffusion avec pertes soient reconnus comme étantdifficiles dans le cas général, les propriétés des systèmes envisagés ici nous permettent de les résoudre pour les deux modèles. Les algorithmes que nous développons sont basés sur la technique du découpage en couches, précédement appliquée à des problèmes de sismique. La solution pour le modèle à segments cylindriques se déduit immédiatement de cette méthode. Par contre, celle du modèle à segments coniques est plus compliquée et, en l' état de nos connaissances, c'est la première fois qu'elle est présentée.

Finalement nous donnons les résultats d'une application à la trompette. Ces résultats sont bons, et nous montrons qu'ils sont meilleurs que ceux d'duits d'une autre méthode empruntée à la littérature. Ils montrent également qu'il est important de prendre en compte les pertes, faute de quoi on peut commettre des erreurs appréciates.

L'article suivant présentera les résultats des algorithms de reconstruction décrits ici, appliqués à des données expérimentales d'instruments à vent en cuivre.
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Document Type: Research Article

Publication date: September 1, 1995

• Acta Acustica united with Acustica, published together with the European Acoustics Association (EAA), is an international, peer-reviewed journal on acoustics. It publishes original articles on all subjects in the field of acoustics, such as general linear acoustics, nonlinear acoustics, macrosonics, flow acoustics, atmospheric sound, underwater sound, ultrasonics, physical acoustics, structural acoustics, noise control, active control, environmental noise, building acoustics, room acoustics, acoustic materials, acoustic signal processing, computational and numerical acoustics, hearing, audiology and psychoacoustics, speech, musical acoustics, electroacoustics, auditory quality of systems. It reports on original scientific research in acoustics and on engineering applications. The journal considers scientific papers, technical and applied papers, book reviews, short communications, doctoral thesis abstracts, etc. In irregular intervals also special issues and review articles are published.
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