# Fresnels Methoden zur Berechnung von Beugungsfeldern

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Fresnel whose calculations were aimed at proving the undulation theory commenced with edge, slit and fringe problems with the elemental area dS ∼ dx. As under the integral the phase variation in the far field Ø ∼ x;2 appeared in the exponent, he obtained a new integral, which had not yet been tabulated and was called after him, but he never succeeded in assigning numerical values to it. Only after his death did his brother publish this work on circular holes and plates. In the far field, with the equivalences Ø ∼ r2and dS ∼ r2, he obtained an explicit solution with alternating maxima and zeros values. Fresnel explained this by circular or annular “zones” with equal areas which successively corresponded to opposed phases. He declared that every “zone” was compensated by half its neighbour so that- if they decrease with the distance- the innermost half zone represents the undisturbed wave or the reflection of an infinite plate. But only Lord Rayleigh showed the fundamental role of the decrease of efficiency resulting from a reduction of the area. Using the exact Fresnel integrals, Rindel showed that the approximation of the zones is very rough. The deviations can also be calculated with a decreasing efficient arc dS = 2 πγ (r)rdr with the annular elements being maintained. Heckl used a rectangle to show that a great number of elements is necessary to achieve the solution by the Fesnel integrals.

Zusammenfassung

Fresnel, dem es bei seinen Berechnungen um den Nachweisder Undulationstheorie ging, begann mit Kanten-,Schlitz- und Streifenproblemen, bei denen das Flächenelement dS ∼ dx war. Da unter dem Integral die Phasenänderung im Abstandsfeld Ø ∼ x 2 im Exponenten auftrat, erhielt er ein noch nicht tabuliertes, nach ihm benanntes Integral, obschon ihm eine numerische Erfassung nie gelang. Erst nach seinem Tode verÖffentlichte sein Bruder seine Behandlung kreisfÖrmiger Probleme-; Loch oder Platte - bei gleicher Anregung und Beobachtung im Abstandsfeld, was Ø ∼ r 2 wie oben, und dS ∼ r2verband und zu einer expliziten LÖsung führte, mit ab-wechselnden Maxima und Nullstellen. Fresnel erklärte das durch kreis- und ringförmige “Zonen” die bei gleicher Fläche mit entgegengesetzten Phasen aneinander gefügt werden konnten. Er erklärte, daß jede “Zone” durch die Hälfte ihrer Nachbarn kompensiert wird, so daß, wenn sie mit der Entfernung abnehmen, die innerstehalbe Zone der ungestörten Welle, bzw. Reflexion einer unendlichen Platte entspricht. Aber erst Lord Rayleigh legte die Wirkungsabnahme einer Flächenverkleinerung zugrunde. Rindel zeigte unter Benutzung der exakten Fresnelschen Integrate, daß die Zonennäherung sehr grob ist. Man kann die Abweichung aber auch bei Beibehaltung der Ringelemente mit abnehmendem wirksamen Bogen dS = 2 π γ (r) rdr berechnen. Heckl zeigte anhand eines Rechtecks, daß erst bei großer Zahl der Elemente die Lösung mit den Fresnelschen Integralen erreicht wird.

Sommaire

Fresnel voulait, par ses calculs, démontrer la supérioritéde la téhorie ondulatoire. Il commen çca par traiter des problèmes d'arêtes, de fentes ou de bandes, dans lesquels l'élément de surface dS équivalait à l'élément linéaire dx. Comme la variation de phase ø en champ lointain apparaissait comme de l'ordre de x dans l'exponentielle sous le signe somme, il obtint une intégrate nouvelle, non encore tabulée, qui porta plus tard son nom. Mais il ne parvint pas de son vivant à lui assigner des valeurs numéeriques. Après sa mort précoce, son frère publia une solution de lui concernant des problèmes d'écrans ou de trous circulaires. Toujours en champ lointain, avec les équivalences ø ∼ r et dS ∼ r, il obtenait une solution explicite avec des alternances de maxima et de zéros. Fresnel expliquait ce phénomène au moyen de «zones» circulaires ou annulaires de surfaces égales qui correspondaient success-sivement àa des phases opposèes. Il déclarait que chaque «zone» était compensée par la moitié de sa voisine de sorte que, si elles diminuent avec la distance, la demi-zone intérieure représente respectivement l'intégrité de l'onde non perturbée, ou de l'onde réfléchie. Mais ce futseulemenord Rayleigh qui montra le rôle fondamental de la diminution d'efficacitée liée à un rapetissement de la surface.Plus tard Rindel montra, en se servant des intégrates de Fresnel exactes, que l'approximation des «zones de Fresnel» est très grossière. On peut aussi calculer les écarts en conservant les éléments annulaires avec un élément d'arc efficace décroissant: dS= 2πγ(r)rdr. Heckl a montré, à l'aide du rectangle, qu'il faut prendre en consideration un tres grand nombre d'éléments pour atteindre la solution par les intégrales de Fresnel.
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Document Type: Research Article

Publication date: September 1, 1990

• Acta Acustica united with Acustica, published together with the European Acoustics Association (EAA), is an international, peer-reviewed journal on acoustics. It publishes original articles on all subjects in the field of acoustics, such as general linear acoustics, nonlinear acoustics, macrosonics, flow acoustics, atmospheric sound, underwater sound, ultrasonics, physical acoustics, structural acoustics, noise control, active control, environmental noise, building acoustics, room acoustics, acoustic materials, acoustic signal processing, computational and numerical acoustics, hearing, audiology and psychoacoustics, speech, musical acoustics, electroacoustics, auditory quality of systems. It reports on original scientific research in acoustics and on engineering applications. The journal considers scientific papers, technical and applied papers, book reviews, short communications, doctoral thesis abstracts, etc. In irregular intervals also special issues and review articles are published.
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