A Systems Theory Approach to Musical Stringed Instruments: Dynamic Behaviour of a String at Point of Excitation

The systems theory approach to musical stringed instruments makes it particularly apparent that the dynamic behaviour of a string at the point where it is excited plays a key role. This behaviour can properly be described by (1) the complex impedance as a function of frequency; (2) the step- or impulse-response of force; and (3) the step- or impulse-response of velocity. In the frame of a general structural model with time-variant excitation mechanisms, and employing bilateral Laplace-transformation, theoretical solutions for the above characteristics are given for the case of small excursions of a flexible, non-torsional string. The results are compared with experimental data and their relevance for less restricted conditions is discussed. It is concluded that in spite of the simplifications involved, the theoretical results facilitate the understanding of stringed instruments and can serve as a reference for experimental investigations on the musical quality of instruments.

Zusammenfassung

Der systemtheoretische Ansatz zur Behandlung der musikalischen Saiteninstrumente macht besonders deutlich, daß das dynamische Verhalten der Saite an der Anregungsstelle eine Schlüsselrolle spielt. Jenes Verhalten wird angemessen beschrieben durch (1) den Frequenzgang der komplexen Impedanz; (2) die Sprung- oder Impulsantwort der Kraft; und (3) die Sprung- oder Impulsantwort der Schnelle. Im Rahmen eines allgemeinen Strukturmodells mit zeitvarianten Anregungsmechanismen und mit Hilfe der bilateralen Laplace-Transformation werden theoretische Lösungen der genannten Charakteristika angegeben, und zwar für den Fall kleiner Auslenkungen einer flexiblen Saite ohne Torsion. Die Ergebnisse werden mit empirischen Daten verglichen und ihre Relevanz bezüglich weniger eingeschränkter Annahmen wird diskutiert. Es wird die Schlußfolgerung gezogen, daß die theoretischen Ergebnisse trotz der zugrundegelegten einschränkenden Annahmen zum Ver ständnis der Saiteninstrumente beitragen und daß sie bei der meßtechnischen Untersuchung der musikalischen Qualität von Instrumenten als Referenz von Nutzen sind.

Sommaire

La théorie des systèmes, appliquée aux instruments à corde, met en évidence rôle fondamental joué par le comportement dynamique de la corde en son point d'excitation. Ce comportement peut se décrire 1°) par une impédance complexe fonction de la fréquence; 2°) par une réponse impulsionnelle ou échelonnaire de la force et 3°) par une réponse impulsionnelle ou échelonnaire de la vitesse. En se plaçant dans le cadre d'un modèle structurel général muni de mécanismes d'excitation variables dans le temps et en faisant usage d'une transformation de Laplace bilatérale, on trouve les solutions théoriques des trois fonctions caractéristiques mentionnées ci-dessus pour le cas d'une corde flexible sans torsion à excursions restreintes. On compare ces résultats à des données expérimentales et on discute leur validité éventuelle dans des conditions moins restrictives. En dépit des simplifications utilisées, les résultats théoriques obtenus facilitent la compréhension du fonctionnement des instruments à cordes et peuvent servir de référence pour des recherches expérimentales sur la qualité musicale des instruments.