Evaluation of Linear-System Responses by Laplace-Transformation. Critical Review and Revision of Method
Todate utilization of Laplace-transformation for evaluating linear-system responses, particularly for solving pertinent linear differential equations, is intimately dependent on the so-called initial values included in the derivation theorem. Those initial values ordinarily are interpreted
as descriptors of the system's initial state. However, conceptual and mathematical analysis of the derivation theorem has revealed that the initial values, if they formally occur, either are null or invalid. Therefore they cannot be used to account for a system's particular initial state,
and the pertinent methods todate offered in the literature get questionable in that respect. This is not quite surprising, as application of those methods has already revealed certain inconsistencies anyhow. In the present study the origins of those inconsistencies are analyzed, the foundations
of utilizing Laplace-transformation are reviewed, and the consistent method is developed and justified. The new method takes advantage of the fact that the derivation theorem does not include any initial values, and provides separate solutions to the transmission- and the initialstate problems.
The method is consistent with the conventional mathematical theory of differential equations, and is formally identical to that of Fourier-transformation.
Zusammenfassung
Die Anwendung der Laplace-Transformation bei der Behandlung von Schwingungsproblemen in linearen Systemen, insbesondere der Lösung der entsprechenden linearen Differentialgleichungen, hängt bisher entscheidend von den sogenannten Anfangswerten der Ableitungsregel ab. Jene Anfangswerte werden üblicherweise als Beschreibungsgrößen für den System-Anfangszustand angesehen. Eine sorgfältige konzeptionelle und mathematische Analyse der Ableitungsregel hat jedoch ergeben, daß die Anfangswerte, falls sie formal überhaupt in Erscheinung treten, entweder null oder ungültig sind. Deshalb können sie keinesfalls benutzt werden, um einem speziellen System-Anfangszustand Rechnung zu tragen; und die entsprechenden, in der Fachliteratur dargestellten Methoden werden in jener Hinsicht fragwürdig. Dies ist nicht überraschend, denn bei der Anwendung jener Methoden sind bereits früher Unstimmigkeiten aufgetreten. In der vorliegenden Arbeit werden die Ursprünge jener Unstimmigkeiten analysiert, es werden die Grundlagen für die Anwendung der Laplace-Transformation erörtert, und schließlich wird die einwandfreie Methode entwickelt und begründet. Die neue Methode zieht gerade aus der Anfangswertlosigkeit der Ableitungsregel ihre Vorteile und stellt getrennte Lösungen für das Übertragungs- und das Anfangszustandsproblem zur Verfügung. Die Methode ist im Einklang mit der mathematischen Theorie der Differentialgleichungen und ist formal identisch mit der entsprechenden Anwendung der Fourier-Transformation.
Sommaire
L'utilisation actuelle de la transformation de Laplace, pour évaluer les réponses de systèmes linéaires et en particulier résoudre les équations différentielles régissant ces systèmes, est étroitement conditionnée par le choix des valeurs initiales à insérer dans les formules de calcul. On interprète habituellement ces valeurs initiales comme décrivant l'état initial du système étudié. Pourtant, si on effectue une analyse approfondie des concepts intervenant dans l'établissement du théorème fondamental du calcul, on est amené à constater que les valeurs initiales, en dépit de leur apparition formelle, sont ou bien nulles ou bien non-valides. Par conséquent elles ne peuvent rendre compte de l'état initial particulier du système, de sorte que les méthodes actuellement proposées dans la littérature sont à remettre en question, du moins sous ce rapport. De fait on avait déjà constaté certaines inconsistances dans l'application de ces méthodes. On analyse ici les origines de ces inconsistances, on réexamine les fondaments de l'utilisation de la transformation de Laplace puis on expose une méthode consistante et on la justifie. La nouvelle méthode présente l'avantage de se passer de valeurs initiales et de prévoir des solutions séparées pour le problème du rayonnement et pour celui de l'état initial. Elle est conforme à la théorie mathématique classique des équations différentielles et rejoint formellement la méthode de la transformation de Fourier.
Zusammenfassung
Die Anwendung der Laplace-Transformation bei der Behandlung von Schwingungsproblemen in linearen Systemen, insbesondere der Lösung der entsprechenden linearen Differentialgleichungen, hängt bisher entscheidend von den sogenannten Anfangswerten der Ableitungsregel ab. Jene Anfangswerte werden üblicherweise als Beschreibungsgrößen für den System-Anfangszustand angesehen. Eine sorgfältige konzeptionelle und mathematische Analyse der Ableitungsregel hat jedoch ergeben, daß die Anfangswerte, falls sie formal überhaupt in Erscheinung treten, entweder null oder ungültig sind. Deshalb können sie keinesfalls benutzt werden, um einem speziellen System-Anfangszustand Rechnung zu tragen; und die entsprechenden, in der Fachliteratur dargestellten Methoden werden in jener Hinsicht fragwürdig. Dies ist nicht überraschend, denn bei der Anwendung jener Methoden sind bereits früher Unstimmigkeiten aufgetreten. In der vorliegenden Arbeit werden die Ursprünge jener Unstimmigkeiten analysiert, es werden die Grundlagen für die Anwendung der Laplace-Transformation erörtert, und schließlich wird die einwandfreie Methode entwickelt und begründet. Die neue Methode zieht gerade aus der Anfangswertlosigkeit der Ableitungsregel ihre Vorteile und stellt getrennte Lösungen für das Übertragungs- und das Anfangszustandsproblem zur Verfügung. Die Methode ist im Einklang mit der mathematischen Theorie der Differentialgleichungen und ist formal identisch mit der entsprechenden Anwendung der Fourier-Transformation.
Sommaire
L'utilisation actuelle de la transformation de Laplace, pour évaluer les réponses de systèmes linéaires et en particulier résoudre les équations différentielles régissant ces systèmes, est étroitement conditionnée par le choix des valeurs initiales à insérer dans les formules de calcul. On interprète habituellement ces valeurs initiales comme décrivant l'état initial du système étudié. Pourtant, si on effectue une analyse approfondie des concepts intervenant dans l'établissement du théorème fondamental du calcul, on est amené à constater que les valeurs initiales, en dépit de leur apparition formelle, sont ou bien nulles ou bien non-valides. Par conséquent elles ne peuvent rendre compte de l'état initial particulier du système, de sorte que les méthodes actuellement proposées dans la littérature sont à remettre en question, du moins sous ce rapport. De fait on avait déjà constaté certaines inconsistances dans l'application de ces méthodes. On analyse ici les origines de ces inconsistances, on réexamine les fondaments de l'utilisation de la transformation de Laplace puis on expose une méthode consistante et on la justifie. La nouvelle méthode présente l'avantage de se passer de valeurs initiales et de prévoir des solutions séparées pour le problème du rayonnement et pour celui de l'état initial. Elle est conforme à la théorie mathématique classique des équations différentielles et rejoint formellement la méthode de la transformation de Fourier.
Document Type: Research Article
Publication date: 01 August 1987
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