# Les équations de l'acoustique linéaire et non-linéaire dans un écoulement de fluide parfait

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The acoustics of fluids is the study of small perturbations about a given flow. The acoustic equations are thus obtained from small perturbations of the equations of fluid mechanics. These comprise the equations of state and of conservation. The Eulerian and Lagrangian representations are badly adaptable for describing the perturbation equations for convective terms are present in very great number. In order to reduce as much as possible the number of these convective terms in the perturbation equations of the conservation equations, a mined representation (both Lagrangian variations and Eulerian variables) is proposed. It consists effectively in the perturbation equations written in Lagrangian presentation, the changing to Lagrangian variables: the Eulerian variables being associated with the flow entrainment. Thus the perturbation equations, of the first and second order, of the conservation equation are still equations of conservation, which bring back again the equations of Galbun and of Bosquet deduced by the calculus of variations. The perturbation of the equations of comportment is only found in the scalar case.

The writing of the perturbation equations in the sense of distribution theory permits the showing, in certain cases, the conditions of propagation verified by the perturbations across a plane surface of discontinuity of the flow of entrainment or dioptre plane. The mixed representation evaluates a variable which is systematically ignored in fluid mechanics, the Lagrangian displacement, a principal variable in non-linear mechanics of deformable solids.

Applied to the equations of fluid mechanics the present method describes precisely the equations of linear and feebly non-linear acoustics in a flow of an ideal and a heterogeneous fluid, in an adiabatic evolment, in characteristics unlimited and differentiable of particles, in the presence of an external conservative force.

The principal results obtained are:

All perturbations of the first and second order are expressible as functions of Lagrangian acoustic displacements of the first and second orders respectively, ξ(1) and ξ(2).

ξ(1) and ξ(2) satisfy a vectorial propagation equation of the second order.

The written conditions of propagation are satisfied by the acoustic field across a dioptre plane. Thus in linear acoustics the result is self-expressive: if the normal acoustic Lagrangian displacement is continued across the dioptre, in general, it is only the same for the normal velocity and pressure. The propagation conditions are equally expressible in non-linear acoustics, but for the fluid initially at rest.

The writing of a conservation equation for the second order perturbation of the total energy. Thus the acoustic energy only conserves, on the contrary, the sum of the acoustical kinetic and potential energies, the kinetic convection and external potential energies conserve themselves.

The results 3 and 4 can only be obtained if ξ is taken into consideration in the field variables of fluid mechanics.

Sommaire

L'acoustique dans les fluides est l'étude des petites perturbations autour d'un écoulement donné. Les équations de l'acoustique sont donc obtenues par petites perturbations des équations de la mécanique des fluides. Celles-ci sont constituées d'équations de conservation et d'équations d'état. Les représentations eulérienne (variations eulériennes, variables d'Euler) et lagrangienne (variations lagrangiennes, variables de Lagrange) sont mal adaptées pour décrire les équations de perturbations: des termes convectifs sont présents en très grand nombre. Afin de réduire au maximum le nombre de ces termes convectifs dans les équations de perturbations des équations de conservation, une représentation dite mixte (variations lagrangiennes, variables d'Euler) est proposée. Elle consiste à effectuer, dans les équations de perturbations écrites en représentation lagrangienne, le changement de variables: variables de Lagrange → variables d'Euler associées à l'écoulement d'entraînement. Ainsi, les équations de perturbations, au premier et au second ordres, d'une équation de conservation sont encore des équations de conservation, qui se ramènent aux équations de Galburn et de Bosquet déduites par le calcul des variations. La perturbation des équations de comportement n'est abordée que dans le cas scalaire.

L'écriture des équations de perturbations au sens de la théorie des distributions permet d'exhiber, dans certains casles conditions de passage vérifiées par les perturbations à la traversée d'une surface plane de discontinuité de l'écoulement d'entraînement ou dioptre plan. La représentation mixte met en valeur une variable qui est systématiquement ignorée en mécanique des fluides, le déplacement lagrangien ξ, variable principale en mécanique non-linéaire des solides déformables.

Appliquée aux équations de la mécanique des fluides, la présente méthode décrit avec précision les équations de l'acoustique linéaire et faiblement non-linéaire dans un écoulement de fluide parfait, hétérogène, en évolution adiabatique, à caractéristiques indéfiniment différen-tiables par morceaux, en présence d'une force extérieure conservative. Les principaux résultats obtenus sont:

toutes les perturbations du premier et du second ordres s'expriment en fonction des déplacements acoustiques lagrangiens du premier et du second ordres, ξ(1) et ξ(2) respectivement,

ξ(1) et ξ(2) vérifient une équation vectorielle de propagation du second ordre,

écriture des conditions de passage vérifiées par le champ acoustique à la traversée d'un dioptre plan. Ainsi, en acoustique linéaire le résultat s'énonce: si le déplacement acoustique lagrangien normal est continu à la traversée du dioptre, en général, il n'en est pas de même pour la vitesse normale et la pression. Les conditions de passage sont également écrites en acoustique non-linéaire, mais pour le fluide initialement au repos,

écriture d'une équation de conservation pour la perturbation au second ordre de l'énergie totale. Ainsi, l'énergie acoustique ne se conserve pas; par contre, la somme des énergies cinétique acoustique, potentielle acoustique, cinétique de convection et potentielle extérieure se conserve.

Les résultats 3 et 4 ne peuvent être obtenus que si ξ est pris en considération dans les variables du champ de la mécanique des fluides.

Zusammenfassung

Die Akustik der Flüssigkeiten ist die Untersuchung kleiner Störungen in einer gegebenen Strömung. Demnach erhält man die akustischen Gleichungen durch kleine Störungen der mechanischen Flüssigkeitsgleichungen. Diese bestehen aus Erhaltungsgleichungen und aus Zustandsgieichungen. Die Darstellungen nach Euler (Eulersche Variationen, Eulersche Koordinaten) und nach Lagrange (Lagrangesche Variationen, Lagrangesche Koordinaten) sind zur Beschreibung der Störungsgleichungen schlecht geeignet, da zu viele Konvektionsglieder auftreten. Um deren Zahl in den Störungsgleichungen aus den Erhaltungsgleichungen zu vermindern, wird eine gemischte Darstellung (Lagrangesche Variationen, Eulersche Koordinaten) vorgeschlagen. Sie entsteht aus einem Wechsel der Variablen in den Störungsgleichungen in Lagrangescher Darstellung: von Lagrange-Variablen zu Eulerschen Variablen, die der Strömung zugeordnet sind. Somit bleiben die Störungsgleichungen erster und zweiter Ordnung einer Erhaltungsgleichung nach wie vor Erhaltungsgleichungen, die auf die Gleichungen von Galbrun und von Bosquet führen, wie sie mittels der Variationsrechnung abgeleitet werden können. Die Störung der Materialgleichungen wird nur für den skalaren Fall vorgenommen.

Die im Sinne der Distributionentheorie geschriebenen Störungsgleichungen erlauben in bestimmten Fällen die Angabe der Sprungbedingungen bei der Durchquerung einer ebenen Diskontinuitätsfläche der Strömung oder eines Plandiopters. Die gemischte Darstellung bringt eine Variable zur Geltung, die in der Mechanik der Flüssigkeiten systematisch ignoriert wird, nämlich die Lagrangesche Verschiebung ξ, welche die wichtigste Variable in der nichtlinearen Mechanik deformierbarer Festkörper ist.

Angewandt auf die Gleichungen der Flüssigkeitsmechanik, beschreibt die gegenwärtige Methode genau die Gleichungen der linearen und der schwach nicht-linearen Akustik für die Strömung einer idealen, heterogenen Flüssigkeit bei adiabatischen Zustandsänderungen, bei unbegrenzt stückweise differenzierbaren Charakteristiken und in Anwesenheit einer konservativen, äußeren Kraft.

Die wichtigsten der erhaltenen Ergebnisse sind die folgenden:

Ale Störungen der ersten und zweiten Ordnung lassen sich als Funktion der akustischen Lagrange-Verschiebungen erster und zweiter Ordnung ξ(1) und ξ(2) ausdrücken,

ξ(1) und ξ(2) sind L;amp;#x00F6;sungen einer vektoriellen Ausbreitungsgleichung zweiter Ordnung,

die Beschreibung der Sprungbedingungen des akustischen Feldes bei der Durchquerung eines Plandiopters. Dieses Ergebnis drückt sich in der linearen Akustik somit folgendermaßen aus: wenn die Lagrangesche Normalverschiebung bei der Durchquerung eines Diopters stetig bleibt, so gilt dies im allgemeinen nicht für die Normalkomponente der Geschwindigkeit und für den Druck. Die Sprungbedingungen werden auch für den Fall der nichtlinearen Akustik ange- geben, aber für eine anfänglich in Ruhe befindliche Flüssigkeit.

Aufstellung einer Erhaltungsgleichung zweiter Ordnung für die Gesamtenergie. Demnach bleibt die akustische Energie nicht erhalten, dagegen die Summe der kinetischen akustischen Energie, der potentiellen akustischen Energie, der kinetischen Konvektionsenergie und der potentiellen äußeren Energie erhalten.

Die Ergebnisse 3 und 4 können nur erhalten werden, wenn man die Größe ξ in den Feldvariablen der Flüssigkeitsmechanik berücksichtigt.
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Document Type: Research Article

Publication date: January 1, 1985

• Acta Acustica united with Acustica, published together with the European Acoustics Association (EAA), is an international, peer-reviewed journal on acoustics. It publishes original articles on all subjects in the field of acoustics, such as general linear acoustics, nonlinear acoustics, macrosonics, flow acoustics, atmospheric sound, underwater sound, ultrasonics, physical acoustics, structural acoustics, noise control, active control, environmental noise, building acoustics, room acoustics, acoustic materials, acoustic signal processing, computational and numerical acoustics, hearing, audiology and psychoacoustics, speech, musical acoustics, electroacoustics, auditory quality of systems. It reports on original scientific research in acoustics and on engineering applications. The journal considers scientific papers, technical and applied papers, book reviews, short communications, doctoral thesis abstracts, etc. In irregular intervals also special issues and review articles are published.
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