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One Dimensional Rayleigh Waves on Straight and Curved Edges

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The derivation of the theory of one dimensional surface waves is shown to follow that of the well-established two-dimensional Rayleigh waves. Their velocities, energy distribution as a function of depth and other characteristics are compared. Using a magnetostrictive technique, thin wires generate and receive waves on a straight edge. Standing wave and time of flight observations establish that the group and phase velocities are equal and that the velocity is non-dispersive and is in good agreement with theoretical values.

Extending the work to convex and concave edges (thin discs and the circular holes in large sheets) explicit algebraic expressions for the velocities, which are now dispersive, were obtained. The continuity of the dispersion as the curvature changes from positive to negative was established. It was possible to obtain experimental results. These were in agreement with the theory. A qualitative model is that of a transmission line circuit which is of low loss when convex and couples efficiently to a thin (low impedance) wire but when concave is “leaky” with very low coupling.

The one dimensional wave, like its two-dimensional counterpart, gives a sensitive response to surface cracks. In investigating the signal from a small crack at the edge of a disc a challenging paradox was observed. For a particular case, of the two echoes from the crack — one clockwise and the other anticlockwise — that which had travelled the greater distance had the greater amplitude. It was established that two surface waves were involved, the Rayleigh wave and a second travelling at the shear velocity. These combine to give large or small amplitudes as the phases of the waves cause the re-inforcement and opposition of the signals.

An experiment was designed to investigate that the signal which travelled the greater distance had the greater amplitude. It is found by analysis that as well as the Rayleigh surface wave on the edge, a second mode travelling at about the shear velocity was excited and the calculated results gave reasonable agreement with the experiments.

Zusammenfassung

Es wird gezeigt, daß die Ableitung der Theorie der eindimensionalen Oberflächenwellen der Ableitung der wohlbekannten zweidimensionalen Rayleighwellen entspricht. Die Geschwindigkeiten, Energieverteilungen als Funktion der Tiefe und andere Charakteristika werden verglichen. Mit Hilfe einer magnetostriktiven Technik erzeugen und empfangen dünne Spulen die Wellen an einer geraden Kante. Die Beobachtung von stehenden Wellen und Ausbreitungszeiten zeigte, daß Gruppen- und Phasengeschwindigkeit gleich sind und daß die Geschwindigkeit nicht dispersiv ist und in guter Übereinstimmung mit theoretischen Werten steht.

Bei der Ausdehnung der Arbeit auf konvexe und konkave Kanten (dünne Kreisscheiben und kreisförmige Löcher in großen dünnen Platten) werden explizite algebraische Ausdrücke für die jetzt dispersiven Geschwindigkeiten beobachtet. Die Kontinuität der Dispersion beim Wechsel der Krümmung von positiv zu negativ wurde nachgewiesen. Es war möglich experimentelle Ergebnisse zu beobachten, die in Übereinstimmung mit der Theorie stehen. Ein qualitatives Modell ist das einer Transmissionline, welche für den konvexen Fall verlustarm ist und wirkungsvoll an eine dünne Spule (kleine Impedanz) ankoppelt und für den konkaven Fall Verluste und eine sehr geringe Kopplung besitzt.

Die eindimensionale Welle reagiert wie ihr zweidimensionales Gegenstück empfindlich auf Oberflächenrisse. Bei der Untersuchung des von einem kleinen Riß an der Kante einer Kreisscheibe rückgestreuten Signals wurde ein die Gültigkeit der Theorie in Frage stellendes Paradoxon beobachtet. Für einen bestimmten Fall hatte das Echo, welches über den längeren Weg gelaufen war, die größere Amplitude; ein Echo läuft mit, ein anderes gegen den Uhrzeigersinn um. Es wurde festgestellt, daß zwei Oberflächenwellen angeregt werden, die Rayleighwelle und eine zweite bei der Scherwellengeschwindigkeit. Diese Kombination führt zu großen oder kleinen Amplituden je nach Phasenlage der beiden Signale.

Ein Experiment wurde entworfen, um den Effekt, daß das über den größeren Weg gelaufene Signal die größere Amplitude besitzt, zu untersuchen. Die Analyse zeigte, daß an der Kante sowohl die Rayleighoberflächenwelle als auch eine zweite bei ungefähr der Scherwellengeschwindigkeit angeregt wird und daß die berechneten Ergebnisse in guter Übereinstimmung mit den Experimenten stehen.

Sommaire

La théorie des ondes de surface unidimensionnelles se construit de la même manière que celle des ondes de Rayleigh à deux dimensions. Le parallèle permet de comparer les vitesses, les distributions d'énergie en fonction de la profondeur et d'autres caractéristiques des deux types de propagations. Une technique de magnétostriction permet de créer et de recevoir ces ondes sur une arête rectiligne au moyen d'un fil fin. Des mesures d'ondes stationnaires et de durées de propagation montrent que les vitesses de groupe et de phase sont égales et que la vitesse, dépourvue de dispersion, correspond bien aux valeurs théoriques.

L'extension de cette étude à des arêtes convexes et concaves (bords de disques minces ou de trous circulaires dans des plaques minces) fournit des expressions algébriques explicites pour les vitesses, qui deviennent alors dispersives. La dispersion est fonction continue de la courbure lorsque celle-ci change de signe. Des résultats expérimentaux ont pu être obtenus et concordent avec les prévisions théoriques. Un modèle qualitatif décrit le comportement d'un circuit de ligne de transmission qui est à faibles pertes lorsqu'il est convexe et couplé d'une manière serrée à un fil mince à basse impédance mais qui devient sujet à fuites importantes quand il est concave et faiblement couplé au fil.

L'onde de surface unidimensionnelle, tout comme son analogue à deux dimensions, est un phénomène très sensible aux craquelures et fissures d'une surface. L'étude du signal provenant d'une petite fissure dans l'arête d'un disque a permis d'observer un paradoxe curieux: des deux échos émis par la fissure, l'un dans le sens des aiguilles d'une montre, l'autre en sens inverse, celui qui s'était propagé sur la plus grande distance avait cependant la plus grande intensité. On a pu établir que, dans ce cas particulier, deux ondes de surface se trouvaient impliquées: l'onde de Rayleigh et une seconde onde se propageant à la vitesse de cisaillement. Leurs interférences donnaient des amplitudes grandes ou petites selon que leurs phases se renforçaient ou s'opposaient.

Une expérience a été conçue spécialement pour le cas où le signal ayant franchi la plus grande distance avait l'amplitude la plus grande. Ses résultats ont été en concordance raisonnable avec les calculs reposant sur l'hypothèse de l'excitation d'un second mode se propageant avec la vitesse des ondes de cisaillement.
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Document Type: Research Article

Publication date: October 1, 1984

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