Der Satz von der wechselseitigen Energie und seine Anwendung auf die wellentheoretische Raumakustik

Mutual energies may be defined as the mixed products we get on squaring the sum of two homogeneous but independent state variables. Since their individual squares already fulfil their own powerbalance the mutual parts must also formally fulfil their own. Heaviside proved that there exists additionally a law for the differences of parts of the mutual powers and of the mutual potential and kinetic energies. — It contains for stationary excitation the law of reciprocity. — In its application to two different free vibrations the mutual potential and kinetic energies become equal, which Wagner called the “law of mutual energies”. In loss-free systems, demonstrated at both ends of a closed tube, they separately become zero, which corresponds to the orthogonality of the eigenfunctions. In damped systems, demonstrated in a tube with imperfect reflection at one end, these functions become complex and the named law provides a “combined orthogonality”. At a complex frequency-dependent reflection-factor, additional to the mentioned equal parts of potential and kinetic energy which supply the losses, other equal parts are exchanging their energies. This deviation of the law results from the boundary condition which seperates a part of the total system. — The law simplifies the analysis of initial states at damped systems, but unfortunately cannot be applied to the analysis of the excitation in complex eigenfunctions.

Zusammenfassung

Als wechselseitige Energien können allgemein die mittleren Produkte bezeichnet werden, die bei der Quadrierung der Summe zweier gleichartiger, aber unabhängiger Zustandsgrößen auftreten. Da die reinen Quadrate die Leistungsbilanzen für die einzelnen auftretenden Größen erfüllen, müssen die wechselseitigen Anteile, die positiv und negativ sind, formal ihre eigene erfüllen. Heaviside hat darüber hinaus einen Satz aufgezeigt, der sich auf die Differenz von wechselseitigen Leistungsanteilen und von potentiellen und kinetischen Energieanteilen bezieht. — In ihn läßt sich auch das für stationäre Erregung geltende Reziprozitätsgesetz einordnen. — Bei der Anwendung auf verschiedene freie Schwingungen führt er zu einer Gleichverteilung auf potentielle und kinetische Energie, was Wagner als ,,Satz von der wechselseitigen Energie“ bezeichnet. — Bei ungedämpften Systemen, gezeigt am beiderseits abgeschlossenen Rohr, verschwinden diese Anteile einzeln, was der Orthogonalität der Eigenfunktionen entspricht. — Bei gedämpften Systemen erhält man im allgemeinen komplexe Eigenfunktionen, gezeigt am Rohr mit Refiexions-veilust an einem Ende, und der genannte Satz liefert eine Kombination der Orthogonalitäts-bedingungen. — Bei komplexem frequenzabhängigem Reflexionsfaktor treten neben gleichen Anteilen potentieller und kinetischer Energie, die die Verluste decken, auch solche auf, die im schwingenden Austausch stehen. Diese Ausnahme erklärt sich daraus, daß die Randbedingung einen Teil des Systems abtrennt. — Der ,,Satz“ vereinfacht die Anfangswertanalyse, kann aber leider nicht zur Erregungsanalyse in komplexe Eigenfunktionen herangezogen werden.

Sommaire

L'expression «énergie mutuelle» peut désigner, d'une manière tout à fait générale, tout produit rectangulaire qui apparaît quand on élève au carré la somme de deux grandeurs d'état de même espèce mais indépendantes. Comme les termes quadratiques purs représentent les bilans énergétiques relatifs aux composants de la somme, considérés isolément, les termes rectangles d'action mutuelle, qui peuvent être positifs ou négatifs, ont aussi à jouer leur rôle dans le bilan d'ensemble. Heaviside a établi à ce sujet un théorème relatif à la différence entre les puissances mutuelles et les termes d'énergies potentielle et cinétique. A ce théorème se rattache la loi de réciprocité pour les régimes stationnaires. Appliqué à diverses oscillations libres, il mène à l'équipartition entre énergie potentielle et énergie cinétique, conséquence que Wagner a nommée «Théorème de l'énergie mutuelle». Avec des systèmes non amortis, comme par exemple dans un tuyau sonore clos aux deux bouts, les termes mutuels disparaissent isolément, ce qui correspond à l'orthogonalité des modes ou fonctions propres. Mais avec des systèmes amortis, où les fonctions propres sont complexes, comme par exemple dans le tuyau sonore terminé à un bout par une impédance à pertes, le théorème de l'énergie mutuelle fournit une combinaison des conditions d'orthogonalité. Dans le cas du tuyau avec coefficient de réflexion dépendant de la fréquence, en plus des termes d'énergie potentielle et cinétiques, égaux et qui couvrent les pertes, apparaissent des termes d'échange oscillatoire dont la présence s'explique du fait que la condition à l'extrémité retranche une partie du système total. Le présent théorème facilite l'analyse des conditions initiales mais n'a pas pu être appliqué à l'analyse des conditions d'excitation avec fonctions propres complexes.