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Etude analytique de l'impédance d'entrée des instruments à embouchure

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The method is applied, to Brass Wind (also called «cuivres») instruments, of calculating the input impedance as defined by J. Kergomard in a recent article. The geometry of the instruments leads to their study in two or three parts: mouth-piece, the bell (ortrumpet) and eventually the intermediate cylindrical portion. The system of differential equations whose dependence on the components of the admittance could reduce, as a first approximation, to a system whose solution allows an approach sufficiently close for the input impedance. Thus one succeeds in obtaining the values of the resonance frequencies of the studied part and the height of the corresponding impedance peaks.

One studies in this manner the mouth-piece and its influence (when it is coupled to a length of cylindrical tubing) on the resonance frequencies and on the heights of the impedance peaks. In this way the idea is obtained of an equivalent cylindrical length. The influence of geometrical parameters on the mouth-piece is equally evident.

The study of the bell-part leads to a simple formulation of the resonant frequencies. However the literal definition of the height of the impedance peaks remains more problematical. The study of the various parts of the instrument is followed by a numerical calculation of the input impedance of the complete instrument. Thus one can discuss the respective roles of the mouth-piece and the bell in distinguishing the case of a conical instrument from that of a «cylindrico-conical».

Sommaire

On applique aux instruments à embouchure (appelés aussi «cuivres») la méthode de calcul des impédances d'entrée qui a été définie par J. Kergomard dans un article récent. La géométrie des instruments amène à diviser leur étude en deux on trois parties: embouchure, pavilion et, éventuellement, portion cylindrique intermédiate. Le système d'équations différentielles dont dépendent les composantes de l'admittance peut se ramener, en première approximation, à un système dont la solution permet une approche assez correcte de l'impédance d'entrée. Ainsi on parvient à des formules littérales fournissant la valeur des fréquences de résonance de la partie étudiée et la hauteur des pics d'impédance correspondants. On étudie de cette manière l'embouchure et son influence (lorsqu'elle est couplée à un troncon de tuyau cylindrique) sur les fréquences de résonance et sur la hauteur des pics d'impédance. On obtient ainsi la notion de longueur cylindrique équivalente. On met également en évidence l'influence des paramètres géométriques de l'embouchure.

L'étude du pavilion conduit à une formulation simple des fréquences de résonance. Mais la definition littérale de la hauteur des pics d'impédance reste plus problématique. Cette etude des diverses parties de l'instrument est suivie d'un calcul numérique de l'impédance d'entrée pour l'instrument complet. Ainsi on peut discuter des rôles respectifs de l'embouchure et du pavilion, en distinguant le cas des instruments coniques de celui des instruments «cylindro-coniques».

Zusammenfassung

Auf Blechblasinstrumente wird die Methode der Berechnung der Eingangsimpedanzen angewandt, wie sie von J. Kergomard in einem neuen Artikel definiert worden ist. Die Geometrie der Instrumente legt eine Unterteilung der Untersuchung in zwei oder drei Teile nahe: für das Mundstuck, den Trichter und eventuell den dazwischenliegenden zylindrischen Teil. Das System von Differentialgleichungen, von dem die Komponenten der Admittanz abhängen, läßt sich in erster Näherung auf ein System zurückführen, für das eine hinreichend genaue Näherungslösung für die Eingangsimpedanz gefunden werden kann. So gelangt man zu expliziten Formeln für die Resonanzfrequenzen des jeweils betrachteten Teils und für die Höhe der zugehorigen Impedanzspitzen. In dieser Weise werden das Mundstück und sein Einfluß (im Fall seiner Ankopplung an ein zylindrisches Rohrstück) auf die Resonanzfrequenzen und auf die Höhe der Impedanzspitzen untersucht. Man gelangt so zu dem Begriff der aquivalenten Zylinderlänge. Ebenso wird der Einfluß der geometrischen Daten des Mundstücks nachgewiesen.

Die Untersuchung des Trichters führt auf eine einfache Formulierung der Resonanzfrequenzen. Die formelmäßige Definition der Höhe der Impedanzspitzen bleibt indessen ziemlich problematisch. Dieser Untersuchung der verschiedenen Teile des Instruments folgt eine numerische Berechnung der Eingangsimpedanz des ganzen Instruments. Auf diese Weise kann man die Rolle des Mundstiicks und des Trichters diskutieren, wobei der Fall der konischen Instrumente von dem der «zylindrisch-konischen» zu unterscheiden ist.
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Document Type: Research Article

Publication date: October 1, 1981

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