The Theory of String Resonances on Musical Instruments

A model is developed for the resonant response of a lightly damped string coupled at either end to the structural and other resonances of a musical instrument. Analytic expressions are derived for the admittance at the point of sinusoidal excitation. The perturbation in resonant frequency and the damping of the string resonances are related to properties of the structural resonances that ultimately determine the tonal quality of an instrument. In discussing strongly coupled string resonances, we consider the normal modes of the vibrating system and this is extended to include interactions between sympathetically tuned strings. We show that the coupling at the bridge removes the degeneracy of the transverse vibrations of the string. Our discussion is applicable to string resonances on any musical instrument and, where relevant, results are considered from both scientific and musical viewpoints.

Zusammenfassung

Es wurde ein Modell für das Resonanzverhalten einer schwach gedämpften Saite entwickelt, die an beiden Enden mit der Hauptresonanz und anderen Resonanzen eines Musikinstrumentes gekr ppelt ist. Analytische Ausdrücke für die Admittanz an dem Punkt mit sinusförmiger Auslenkung werden hergeleitet. Die Stöning der Resonanzfrequenz und die Dämpfung der Saitenresonanzen stehen in Beziehung mit Eigenschaften der Hauptresonanz, welche letztlich die klangliche Qualität eines Instruments mitbestimmt. Bei der Diskussion stark gekoppelter Saitenresonanzen betrachten wir die Normalmoden des Schwingungssystems, was auf die Wechselwirkungen zwischen mitschwingenden Saiten ausgedehnt wird. Wir zeigen, daß die Kopplung am Steg die Entartung der transversalen Schwingungen der Saite aufhebt. Unsere Diskussion ist anwendbar auf Saitenresonanzen jedes Musikinstruments. Soweit relevant, werden die Ergebnisse sowohl vom wissenschaftlichen als auch vom musikalischen Standpunkt aus betrachtet.

Sommaire

On a développé un modèle fournissant la réponse résonante d'une corde faiblement amortie et couplée en chacune de ses extrémités aux résonances, structurelles ou autres, d'un instrument de musique. On obtient des expressions analytiques de l'admittance au point où est appliquée une excitation sinusoïdale. La perturbation de la fréquence de résonance et l'amortissement des résonances de la corde sont reliés aux propriétés des résonances structurelles qui déterminent en dernier ressort la qualité tonale d'un instrument. Pour discuter les résonances à couplages serrés de la corde, on prend en considération les modes normaux du système vibrant. Cette approche a été étendue de manière à inclure les interactions entre cordes accordées de façon à vibrer en sympathie. On montre également que le couplage au niveau du chevalet élimine la degenerescence des vibrations transversales de la corde. La présente discussion est applicable aux résonances des cordes de tout instrument et ses résultats sont significatifs aussi bien du point de vue musical que du point de vue scientifique.