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Ab Initio Calculations of the Oscillations of a Clarinet

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The equation of motion giverning the mouthpiece pressure for a clarinet can be expressed in integral equation form as a convolution integral of the impulse response function, or Green's function G(t), and the air volume velocity U(t):

p(t) = ∫0 G(t′) U(tt′) dt′ ≡ G * U (1)

Numerical integration of (1) would be prohibitively long since G(t) decays with a time constant of tens of periods of oscillation. The following theorem is demonstrated.

p = Z 0 U + r * (p + Z 0 U), (2)

where Z 0 is the wave impedance of the bore and r (t) is obtained from

r = (ZZ 0)/(Z + Z 0). (3)

r is the Fourier transform of r, and Z = Ĝ is the input impedance of the bore. The reflection function r(t) decays to zero typically within a period, so that numerical integration of (2) is from one to two orders of magnitude faster than integration of (1). The form of (2) is shown in an Appendix to be a form of the algorithm used by Mclntyre and Woodhouse [5] in their investigation of the bowed string.

The function r(t) is calculated from the detailed dimensions of a particular clarinet, given by Nederveen [9]. Reasonable impedance curves are obtained for various notes in the chalumeau and clarinet registers, and for some multiphonic notes for which ∣Z(ω)∣ curves have been published by Benade [19] and Backus [20]. Representative oscillations are calculated for the various notes, including the multiphonics, and waveforms displayed for mouthpiece pressure, volume current, and reed displacement.

Zusammenfassung

Die Bewegungsgleichung, die den Mundstückdruck einer Klarinette beschreibt, kann in Integralgleichungsform als Faltungsintegral der Impulsantwort oder Greenfunktion G(t) und der Luftvolumengeschwindigkeit U(t) ausgedriickt werden:

p(t) = ∫0 G(t′) U(tt′) dt′ ≡ G * U. (1)

Numerische Integration von (1) wiirde unzulassig lang werden, da G(t) mit einer Zeitkonstante abnimmt, die in der Größenordnung von zehn Perioden der Schwingung liegt. Das folgende Theorem wird vorgestellt:

p = Z 0 U + r * (p + Z 0 U), (2)

wobei Z 0 der Wellenwiderstand der Bohrung ist und wobei man r (t) aus

r = (ZZ 0)/(Z + Z 0). (3)

erhält. r ist die Fouriertransformierte von r, und Z = Ĝ ist die Eingangsimpedanz der Bohrung. Die Reflexionsfunktion r(t) verschwindet typischerweise innerhalb einer Periode, so daß die numerische Integration von (2) um ein bis zwei Größenordnungen schneller durchzuführen ist als die von (1). Im Anhang wird gezeigt, daß (2) eine Form des Algorithmus ist, der von McTntyre und Woodhouse [5] in ihrer Untersuchung über die gestrichene Saite verwendet wurde.

Die Funktion r(t) wurde aus detaillierten Angaben iiber die Dimensionen einzelner Klarinetten berechnet, die von Nederveen [9] angegeben wurden. Für verschiedene Noten des Chalumeau- und Klarinettenregisters und für einige Vielklange, für die ∣Z(ω)∣-Verläufe von Benade [19] und Backus [20] angegeben wurden, wurden vernünftige Impedanzverlaufe beobachtet. Für verschiedene Noten, einschließlich der Vielklänge, wurden repräsentative Schwingungen berechnet, und die Wellenformen für Mundstückdruck, Volumenströmung und Blattauslenkung wurden dargestellt.

Sommaire

L'équation du mouvement pour la pression au niveau de l'embouchure d'une clarinette pent se mettre sous la forme d'une equation intégrate, produit de convolution de la réponse impulsionnelle (ou fonction de Green) G(t) par la vitesse volumique de l'air U(t):

p(t) = ∫0 G(t′) U(tt′) dt′ ≡ G * U (1)

Mais une intégration numérique de l'eq. (1) serait prohibitive parce que la fonction G(t) decroit avec une constante de temps de l'ordre de plusieurs dizaines de périodes d'oscillation de l'instrument. On utilisera done la formule

p = Z 0 U + r * (p + Z 0 U) (2)

Z 0 est l'impedance d'onde du tube et r(t) une fonction dont la transformée de Fourier est

r = (ZZ 0)/(Z + Z 0). (3)

Z = G etant l'impedance d'entrée du tube.

La fonction «réflexion» r(t) a la particularité de tendre vers zéro assez rapidement (en moins d'une période) pour que l'intégration numérique de l'eq. (2) soit considérablement plus rapide (d'un à deux ordres de grandeur) que celle de l'éq. (1).

On a calculé explicitement r(t) pour le cas particulier d'une clarinette dont Nederveen a donné les dimensions en détail. Les courbes d'impédance ont été obtenues pour diverses notes des registres du chalumeau et du medium, ainsi que pour quelques notes multiphoniques dont les courbes ∣Z(ω)∣ avaient été publiées par Benade et Backus. Leurs allures paraissent raisonnables. On a également calculé des oscillations typiques aff'érentes aux notes considérées et tracé les formes d'ondes pour la pression à l'embouchure, le courant volumique et le déplacement de l'anche.

En annexe il est démontré que l'éq. (2) est de la même forme que l'algorithme utilisé par Mc-Intyre et Woodhouse dans leur étude de la corde frottée par un archet.
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Document Type: Research Article

Publication date: May 1, 1981

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