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# On the Absorption Coefficient

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The aim of this paper is to make some general statements about the absorption of a locally reacting patch of arbitrary shape. Specifically: (a) to relate the impedance and the shape of the patch to the absorption coefficient and (b) to discuss the incident power and suggest a new absorption coefficient.

For an incident plane wave with a pressure pi, we may (in the sense of the variational approach) always write the total pressure on the absorber (with the impedance Z A) as

p = 2piZ A/(Z A + Z F).

Z F is some kind of “field impedance“ in series with Z A and suggests the following expression for the statistical absorption coefficient

αstat=4 Re(Z A)/π∫0 π/20 sin()/|Z A+Z F|2ddφ

Thus we simply replace 1/cos() from the infinitely large sample by Z F, which is a function of shape, size, frequency and angle of incidence. For a specific shape one may obtain Z F, once and for all, by numerical integration.

If, instead of using incident power related to the infinite absorber, one considers the ratio between absorbed and available power, a new type of absorption coefficient is obtained. This can never exceed unity. E. g. for the statistical absorption coefficient one has

α′stat=παstat/∫π/2 0 0sin()/Re(Z F)ddφ

with α′stat≦1

Practically, if Z A is known, αstat may be calculated as above. If only measured values of αstat exist, the latter relation may be used, since α′stat depends only weakly on the size of the absorber.

Zusammenfassung

Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, einige allgemeine Überlegungen anzustellen zur Absorption eines lokal reagierenden Teilstücks beliebiger Form. Insbesondere sollen (a) Impedanz und Form des Teilstücks einerseits und Absorptionsgrad andererseits zueinander in Beziehung gesetzt werden und (b) die einfallende Leistung diskutiert sowie ein neuer Absorptionsgrad vorgeschlagen werden. Für eine einfallende, ebene Welle mit Schalldruck pi kann man (im Sinne des Variationsansatzes) den Gesamtdruck am Absorber (mit der Impedanz Z A) generell schreiben als

p=2piZ A/(Z A + Z F).

Z F ist eine Art ,,Feldimpedanz“ in Reihe mit Z A, womit sich für den statistischen Absorptionsgrad der folgende Ausdruck anbietet

αstat=4Re(Z A)/π∫0 π/20 sin()/|ZA+ZF|2ddφ.

Es wird also lediglich der Term 1/cos() der unendlich großen Probe ersetzt durch Z F, wobei Z F eine Funktion der Form, der Größe, der Frequenz und des Einfallswinkels ist. Für eine spezielle Form läßt sich Z F ein für allemal durch numerische Integration ermitteln.

Wenn man nicht die einfallende Leistung, die in Relation zu dem unendlich ausgedehnten Absorber steht, verwendet, sondern das Verhältnis von absorbierter und verfügbarer Leistung betrachtet, dann erhält man einen neuen Typus des Absorptionsgrades, der nie größer als Eins werden kann. Für den statistischen Absorptionsgrad ergibt sich z.B.

α′stat=παstat/∫π/2 0 0sin()/Re(Z F)ddφ

mit α′stat;≦1. Wenn Z A bekannt ist, kann αstat nach der obenstehenden Beziehung berechnet werden. Wenn lediglich gemessene Werte von αstat vorliegen, kann die letztere Beziehung benutzt werden, da α′stat nur schwach von der Größe das Absorbers abhängt.

Sommaire

On s'est proposé d'énoncer quelques propositions générales à propos de l'absorption d'un pavage de forme quelconque à réaction locale. Plus précisément on a cherché: 1°) à relier au coefficient d'absorption l'impédance locale et la forme du pavage et 2°) à remettre en cause la définition de la puissance incidente ce qui suggère une redéfinition du coefficient d'absorption lui-même.

L'onde incidente étant plane avec la pression p i, on peut toujours écrire, ayant en vue une approche variationnelle, la pression totale sur l'absorbeur (caractérisé par l'impédance Z A) sous la forme

p=2piZ A/(Z A + ZF).

Z F est ici une sorte d'impédance «de champ» considérée comme étant en série avec Z A. Ceci suggère pour le coefficient d'absorption statistique l'expression suivante:

αstat=4Re(Z A)/π∫0 π/20 sin()/|Z A+Z F|2ddφ

dans laquelle on a simplement remplacé par Z F le terme en 1/cos(ô) qui figure dans l'expression classique valable pour un échantillon infiniment grand. Mais ici Z F peut être considéré comme fonction de la forme, de la dimension, de la fréquence et de l'angle d'incidence.

On obtiendra encore un autre coefficient d'absorption nouveau si, au lieu de considérer la puissance incidente relative à l'absorbeur infini, on prend en considération le rapport entre la puissance absorbée et la puissance disponible. Pour le coefficient statistique par exemple, on trouve:

α′stat=παstat/∫π/2 0 0sin()/Re(Z F)ddφ

Avec α′stat≦1.

Dans les cas pratiques, si Z A est connue, astat se calcule aisément d'après la formule indiquée ci-dessus. Si par contre on ne possède que des valeurs expérimentales de astat, ce sera la seconde formule ci-dessus qui conviendra, car α′stat ne dépend que faiblement de la dimension de l'absorbeur.
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Document Type: Research Article

Publication date: April 1, 1980

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• Acta Acustica united with Acustica, published together with the European Acoustics Association (EAA), is an international, peer-reviewed journal on acoustics. It publishes original articles on all subjects in the field of acoustics, such as general linear acoustics, nonlinear acoustics, macrosonics, flow acoustics, atmospheric sound, underwater sound, ultrasonics, physical acoustics, structural acoustics, noise control, active control, environmental noise, building acoustics, room acoustics, acoustic materials, acoustic signal processing, computational and numerical acoustics, hearing, audiology and psychoacoustics, speech, musical acoustics, electroacoustics, auditory quality of systems. It reports on original scientific research in acoustics and on engineering applications. The journal considers scientific papers, technical and applied papers, book reviews, short communications, doctoral thesis abstracts, etc. In irregular intervals also special issues and review articles are published.
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