Numerical Analysis of a Hyperbolic Acoustic Field in Liquids and Solids

The classical equations of motion are used here to describe acoustic wave propagation in a homogeneous, isotropic, linear and elastic body. The displacement functions are given in terms of scalar and vector potentials and their derivatives. Finite-difference methods were applied for numerical solution of two-dimensional acoustic fields. Field equations and boundary conditions, including their discrete form, appear in the text. An extensive literature survey indicated various possible methods of analysis. However, none of the references mentioned here attempted a composite approach in seeking an improved solution technique. It is shown here that such an approach — specifically, finite differnces combined with vector- and scalar potentials — permits simple and systematic description of the field, and moreover makes for considerable time saving compared with the conventional method: one fifth in stress or displacement boundary problems, and about 40% in the number of multiplications for the field as a whole. A computer programme was run for testing the numerical solution, and the example given here deals with the near-field in a liquid medium.

Zusammenfassung

Die klassischen Bewegungsgleichungen wurden hier zur Beschreibung der akustischen Wellenausbreitung in einem homogenen, isotropen, linearen und elastischen Material benutzt. Die Verschiebungsfunktionen werden durch skalare und Vektorpotentiale und deren Ableitungen ausgedrückt. Für die numerische Berechnung zweidimensionaler Schallfelder wurde die Methode der finiten Differenzen angewandt. Die Feldgleichungen und die Randbedingungen werden im Text einschließlich ihrer diskretisierten Form angegeben. Eine ausfuhrliche Literaturübersicht ließ verschiedene Untersuchungsmethoden als möglich erscheinen. Jedoch wurde in keiner der erwähnten Literaturstellen ein Lösungsversuch gemacht, der zu einer verbesserten Lösungstechnik hätte führen können. Es wird gezeigt, daß ein solcher Weg, nämlich finite Differenzen kombiniert mit Vektor- und skalaren Potentialen – eine einfache und systematische Feldbeschreibung erlaubt und darüber hinaus eine beträchtliche Zeitersparnis im Vergleich mit der konventionellen Methode mit sich bringt: ein Fünftel bei Spannungs- oder Verschiebungs-Randwertproblemen, und etwa 40% für die Zahl der Multiplikationen für das Feld als Ganzes. Die numerische Lösung wurde mit einem Computer-Programm getestet; das hier gegebene Beispiel behandelt das Nahfeld in einem flüssigen Medium.

Sommaire

On décrit la propagation d'une onde acoustique dans une substance homogène, isotrope, linéaire et élastique au moyen des équations classiques du mouvement et l'on en déduit les déplacements en fonction de potentiels scalaires et vectoriels ainsi que de leurs dérivées. Puis on applique les méthodes des différences finies à la résolution numérique des équations relatives aux champs acoustiques à deux dimensions. On écrit explicitement les formes discrétisées des équations aux champs et des conditions aux limites. Différentes méthodes d'analyse possibles sont suggérées par un examen approfondi de la litterature disponible. Cependant l'approche composite proposee ici en vue d'établir une technique de résolution plus performante semble nouvelle. Cette approche est caractérisée par l'usage simultané des différences finies et des potentiels scalaires et vectoriels. Mieux que les autres elle permet une description simple et systématique du champ, tout en assurant des économies considérables dans les temps de calcul: 20% dans les problèmes aux limites (tensions ou déplacements) et 40% pour le nombre de multiplications nécessaires à la détermination globale du champ. Un programme d'ordinateur a été exploité pour contrôler la solution numeéique. A titre d'exemple, on explicite le calcul du champ proche en milieu liquide.