Circularly Polarized Acoustic Fields: The Number Theory Connection

Air-borne circularly polarized acoustic fields can be excited in a cavity with a square cross-section at resonant frequencies that are simply degenerate (two coinciding modes, “double resonance”). The possible frequency positions of the required double resonances are determined by a famous result from numbertheory, the “two-squares' theorem”, which concerns the decomposition of the natural numbers (positive integers) into the sum of two squares. The possibility of such a decomposition is governed by the prime factors of the integer concerned.

Circularly polarized fields are characterized by a density of angular momentum (in addition to an energy density). When such fields are absorbed, they impart angular momentum to the absorber which can be seen (literally) by the rotation of a suitably suspended absorbing rotor.

Zusammenfassung

Zirkular-polarisierte Schallfelder in Luft können in einem Hohlraum mit quadratischem Querschnitt angeregt werden und zwar bei Frequenzen, die einfach entarteten Moden entsprechen (zwei zusammenfallende Schwingungsformen, “Doppelresonanz”). Die möglichen Frequenzwerte der benötigten Doppelresonanzen sind durch ein berühmtes Resultat der Zahlentheorie gegeben, dem “Zwei-Quadrate-Satz”, der die Zerlegung der naturlichen (positiven ganzen) Zahlen in die Summe zweier Quadrate beschreibt. Die Möglichkeit einer solchen Zerlegung wird von der Primfaktorzerlegung der betreffenden natürlichen Zahl beherrscht.

Zirkular-polarisierte Felder sind (außer durch eine Energiedichte) auch durch eine Drehimpulsdichte charakterisiert. Wenn solche Felder absorbiert werden, übertragen sie auf den Absorber ein Drehmoment, das als Rotation eines geeignet aufgehängten, absorbierenden Rotors sichtbar gemacht werden kann.

Sommaire

On peut exciter des champs acoustiques aériens polariśes circulairement dans une cavité de section carrée en choisissant des fréquences qui correspondent à certains modes dégénérés (coïncidences de deux modes ou «résonances doubles»). Les valeurs numériques des fréquences requises pour de telles résonances doubles sont fournies par un théorème bien connu en théorie des nombres: le «théorème des deux carrés», qui spécifie la décomposition des nombres naturels (les entiers positifs) en une somme de deux carrés. La possibilité d'une telle décomposition depend de la maniére dont le nombre considéré se décom-pose en facteurs premiers.

Les champs à polarisation circulaire se caractérisent par leur densité énergétique et aussi la densité de leur moment angulaire. Quand de tels champs sont absorbés, ils transférent à leurs absorbeurs un moment angulaire dont l'existence peut se vérifier expérimentalement: il suffit de suspendre l'absorbeur suivant son axe de révolution pour en faire un rotor mis en mouvement par le champ circulaire qu'il absorbe.