Uniformly Accurate Expressions for Sound Waves Induced by a Vibrating Planar Boundary

The antecedent of this investigation [1] derived a per-turbation description of the velocity potential for two-dimensional finite acoustic waves induced by the vibration of a region in a planar boundary. Those results, which used a complex Fourier transform to represent the dependence on the transverse position, lacked uniform validity in the propagation distance from the boundary. Expressions for the acoustic pre-ssure and velocity components derived from the poten-tial function have the same behaviour. The current analysis employs a coordinate straining transforma-tion to correct the irregularities in the acoustic pres-sure and fluid velocity components, and thereby obtain uniformly accurate expressions. Then the strained coordinate transformation is eliminated by a Fourier analysis and a Bessel-Fubini type expansion is derived instead, which improves the computational efficiency by several orders of magnitude. A quantita-tive example which depicts various spatial and tem-poral responses is cited.

Zusammenfassung

In der vorausgehenden Untersuchung [1] wurde eine Stö-rungsbeschreibung des Schnellepotentials für zweidimen-sionale akustische Wellen endlicher Amplitude abgeleitet, die durch die Schwingung eines Bereichs einer ebenen Grenzfläche erzeugt werden. Die Ergebnisse, bei denen die Abhängigkeit von der Seitenlage mittels einer kom-plexen Fouriertransformation dargestellt wurden, waren nicht gleichermaßen für alle Entfernungen von der Grenzfläche gültig. Die Ausdrücke fur den Schalldruck und die Schnellekomponenten, die von der Potential-funktion abgeleitet sind, weisen denselben Mangel auf. Die gegenwärtige Untersuchung benutzt eine koordina-tenverzerrende Transformation für die Korrektur der Un-gleichförmigkeiten des Schalldrucks und der Schnell-ekomponenten; auf diese Weise werden Ausdrücke gleichmäßiger Genauigkeit erhalten. Sodann wird die Koordinatentransformation durch eine Fourieranalyse rückgängig gemacht und statt dessen eine Bessel-Fubini-Entwicklung abgeleitet, welche die Effiziens der Berech-nung um mehrere Größenordnungen verbessert. Es wird ein quantitatives Beispiel verschiedener räumlicher und zeitlicher Antworten vorgestellt.

Sommaire

Un article antérieur dans la même revue [1] décrivait une méthode de perturbation conduisant au potentiel des vitesses pour des ondes acoustiques bidimensionnelles et d'amplitudes finies produites par la vibration d'une sec-tion plane de leur frontière. On y utilisait une transforma-tion complexe de Fourier pour représenter la relation avec la position transversale, mais les résultats ne re-staient pas valides uniformément en fonction de la distan-ce de propagation à partir de la frontière. Les expressions dérivées du potentiel des vitesses pour donner la pression acoustique et les composantes de la vitesse subissent le même inconvénient. Pour corriger ces irrégularités et ob-tenir des expressions à précision uniforme, on a recours classiquement a une transformation d'extension des coor-données. Ensuite on élimine cette transformation par analyse de Fourier et on introduit à la place un dévelop-pement du type Bessel-Fubini qui augmente de plusieurs ordres de grandeur l'efficacité des calculs. On fournit un exemple quantitatif montrant diverses réponses spatiales et temporelles.