Theory of Evolving Normal Modes and the Vocal Tract. Part I — Basic Relations and Adiabatic Invariance

A two time-scale variational principle which governs the first evolving resonance modes of a sound pipe is developed. It is assumed that the form of the sound pipe varies sufficiently slowly with time for the deformations to satisfy the condition of adiabatic approximation. At the level of its Euler-Lagrange conditions, this principle gives, in addition to the wave equation, an adiabatic invariant of the sound field. This invariant is closely related to the local energy balance of an evolving normal mode.

Because the vocal tract can be represented, as far as its acoustic performance is concerned, by a sound pipe whose form varies with time, the formalism which we propose provides the framework for an acoustic theory of the vocal tract extended to time-varying aspects.

Zusammenfassung

In dieser Arbeit wird ein Variationsprinzip mit zwei Zeitskalen entwickelt, das sich auf die tiefsten Eigenschwingungen eines Rohres bezieht. Es wird angenommen, daß sich die Form des Rohres genügend langsam ändert, so daß die Bedingung für eine adiabatische Änderung erfüllt ist. Auf der Basis der Euler-Lagrange Gleichungen liefert dieses Prinzip außer der Wellengleichung eine adiabatische Invariante des akustischen Feldes im Stimmkanal. Diese Invariante hängt direkt mit der lokalen Energiebilanz einer sich ändernden Eigenschwingung zusammen.

Da der Stimmkanal hinsichtlich seines akustischen Verhaltens als Rohr mit zeitlich veränderlicher Form dargestellt werden kann, liefert der von uns vorgeschlagene Formalismus den Rahmen für eine akustische Theorie des Stimmkanals, die auch die zeitliche Veränderung berücksichtigt.

Sommaire

On a établi un principe variationnel à deux échelles de temps pour gouverner les premiers modes évolutifs de résonance d'un guide acoustique de forme variable dans le temps, à supposer les déformations assez lentes pour satisfaire à la condition d'adiabaticité. Au niveau des conditions d'Euler-Lagrange y afférentes, ce principe variationnel fournit, outre l'équation d'onde, un invariant adiabatique du champ sonore dans le conduit considéré. Cet invariant est relié directement au bilan local de l'énergie d'un mode évolutif normal.

Le tractus vocal est assimilable, du point de vue de son comportement acoustique, à un guide d'ondes sonores à forme variable dans le temps. Le formalisme proposé ci-dessus fournit par conséquent le cadre d'une théorie acoustique du conduit vocal capable de traiter des aspects évolutifs — phonétiquement fondamentaux — de la phonation.