Schwingungen punktweise belasteter Systeme unter Berücksichtigung der Kopplung verschiedener Wellenarten – Teil I
The system of partial, non-homogeneous differential equations of the first order describing a mechanical system with 2n varables can be derived by considering the continuity of the n kinematic variables and the equilibrium of the n dynamic variables for each volume element.
In the literature such systems are solved with well-known methods by reducing them to one 2nd order differential equation. This reduction is not possible, if there exists a coupling between the different wave types, e. g. for a vibrating beam carrying excentric masses.
Starting from the well-known theory of systems of linear differential equations of the first order with constant coefficients, solutions for equations with variable coefficients are derived by analytical means.
In this paper the theory is used to calculate the eigenvalues of a point loaded beam of finite length. In another paper (part II) the eigenvalues of periodic systems with coupling between different wave types is obtained; furthermore non-sinusoidal excitation is treated.
Zusammenfassung
Das ein mechanisches System mit 2 n physikalischen Größen beschreibende partielle, inhomogene DGL-System erster Ordnung läßt sich durch Betrachtung der Stetigkeitsbedingungen der n kinematischen und der Gleichgewichtsbedingungen der n dynamischen Größen am Volumenelement aufstellen. In der Literatur werden diese Systeme durch Zurückführung auf DGLen 2 n-ter Ordnung mit bekannten Theorien gelöst.
Speziell bei Kopplung verschiedener Wellenarten, wie sie z. B. bei einem mit exzentrischen Sperrmassen belasteten Balken auftritt, ist diese Zurückführung nicht möglich.
Ausgehend von der bekannten Theorie der linearen DGL-Systeme erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten wird auf analytischem Weg eine Theorie für die entstehenden gewöhnlichen, linearen DGL-Systeme mit variablen Koeffizienten entwickelt.
Diese Theorie wird in der vorliegenden Arbeit auf die Berechnung der Eigenwerte eines punktförmig belasteten Balkens endlicher Länge angewandt. In einer weiteren Arbeit (Teil II) werden die Eigenwerte periodischer Stäbe unter Berücksichtigung der Wellentypenumwandlung ermittelt; außerdem werden nichtharmonische Vorgänge behandelt.
Sommaire
Un système mécanique à 2 n grandeurs physiques se décrit par un système d'équations différentielles aux dérivées partielles, inhomogènes et du premier ordre, qui s'établit en considérant les conditions de continuité relatives aux n grandeurs cinématiques et les conditions d'équilibre relatives aux n grandeurs dynamiques, rapportées à l'élément de volume standard. Classiquement de tels systèmes se résolvent par réduction à des équations du second ordre selon des processus bien connus.
Mais une telle réduction n'est pas toujours possible, et tout spécialement lorsqu'il importe de tenir compte des couplages entre modes différents, comme dans l'exemple d'une poutre chargée avec des masses de blocage excentrées.
Pour traiter les systèmes d'équations différentielles ordinaires du premier ordre à coefficients variables qui se présentent dans ce cas de couplage, on a donc établi une théorie de résolution analytique directe fondée sur la théorie connue des équations différentielles linéaires à coefficients constants.
Dans le présent article, cette théorie est appliquée au calcul des valeurs propres d'une poutre de longueur finie avec charges ponctuelles excentrées. Dans un article ultérieur (II), on traitera des barreaux périodiques en tenant compte des intercommutations des modes ondulatoires; on étudiera en outre les processus non-harmoniques.
In the literature such systems are solved with well-known methods by reducing them to one 2nd order differential equation. This reduction is not possible, if there exists a coupling between the different wave types, e. g. for a vibrating beam carrying excentric masses.
Starting from the well-known theory of systems of linear differential equations of the first order with constant coefficients, solutions for equations with variable coefficients are derived by analytical means.
In this paper the theory is used to calculate the eigenvalues of a point loaded beam of finite length. In another paper (part II) the eigenvalues of periodic systems with coupling between different wave types is obtained; furthermore non-sinusoidal excitation is treated.
Zusammenfassung
Das ein mechanisches System mit 2 n physikalischen Größen beschreibende partielle, inhomogene DGL-System erster Ordnung läßt sich durch Betrachtung der Stetigkeitsbedingungen der n kinematischen und der Gleichgewichtsbedingungen der n dynamischen Größen am Volumenelement aufstellen. In der Literatur werden diese Systeme durch Zurückführung auf DGLen 2 n-ter Ordnung mit bekannten Theorien gelöst.
Speziell bei Kopplung verschiedener Wellenarten, wie sie z. B. bei einem mit exzentrischen Sperrmassen belasteten Balken auftritt, ist diese Zurückführung nicht möglich.
Ausgehend von der bekannten Theorie der linearen DGL-Systeme erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten wird auf analytischem Weg eine Theorie für die entstehenden gewöhnlichen, linearen DGL-Systeme mit variablen Koeffizienten entwickelt.
Diese Theorie wird in der vorliegenden Arbeit auf die Berechnung der Eigenwerte eines punktförmig belasteten Balkens endlicher Länge angewandt. In einer weiteren Arbeit (Teil II) werden die Eigenwerte periodischer Stäbe unter Berücksichtigung der Wellentypenumwandlung ermittelt; außerdem werden nichtharmonische Vorgänge behandelt.
Sommaire
Un système mécanique à 2 n grandeurs physiques se décrit par un système d'équations différentielles aux dérivées partielles, inhomogènes et du premier ordre, qui s'établit en considérant les conditions de continuité relatives aux n grandeurs cinématiques et les conditions d'équilibre relatives aux n grandeurs dynamiques, rapportées à l'élément de volume standard. Classiquement de tels systèmes se résolvent par réduction à des équations du second ordre selon des processus bien connus.
Mais une telle réduction n'est pas toujours possible, et tout spécialement lorsqu'il importe de tenir compte des couplages entre modes différents, comme dans l'exemple d'une poutre chargée avec des masses de blocage excentrées.
Pour traiter les systèmes d'équations différentielles ordinaires du premier ordre à coefficients variables qui se présentent dans ce cas de couplage, on a donc établi une théorie de résolution analytique directe fondée sur la théorie connue des équations différentielles linéaires à coefficients constants.
Dans le présent article, cette théorie est appliquée au calcul des valeurs propres d'une poutre de longueur finie avec charges ponctuelles excentrées. Dans un article ultérieur (II), on traitera des barreaux périodiques en tenant compte des intercommutations des modes ondulatoires; on étudiera en outre les processus non-harmoniques.
Document Type: Research Article
Publication date: 01 August 1980
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