Optimal growth of Eady edge waves

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Abstract:

The classical Eady model with interior perturbation potential vorticity ′ = 0 and a modification with ≠ 0 are treated in terms of edge waves, which are propagating on the oppositely directed pseudo-potential vorticity gradients induced by the rigid upper and lower lid. By this reformulation it is made possible to derive easily interpretable equations for optimal instantaneous growth. In the modified model the coupling between the amplitudes of the edge waves is not equal in contrast to the classical model. Nevertheless, it is proven that the optimally instantaneously growing disturbances (OIs) and their growth rates are identical in both models. The ability of the OIs to maintain their growth rates for longer time intervals is examined. This ability depends on the similarity between the normalmode (NM) structures and the OI structures and therefore differs between the two models. The singular vectors (SVs) of both models are computed, and it is shown that their growth rates and their evolution can be explained with the aid of the previous results, i.e. it is possible to deduce the SV growth rates qualitatively by modulating the OI growth rates with the ability of the SVs to maintain these optimal growth rates. Correspondingly, the SV evolution is determined by the OI and NM structures. The SVs evolve such that they transit exactly through the OI structures toward the growing NM structure or to its remnants near to the cutoffs, where a growing NM does not exist. The norm-dependency of the OIs and SVs is examined and on the basis of these results it is possible to classify all norms considered here into two groups with qualitatively different characteristics. The results suggest that the unequal coupling between the edge wave amplitudes, which is investigated here, might be relevant to rapid surface cyclone development and Petterssen type B development, in case the vertical windshear decreases with height.

German
Das klassische Eady-Modell mit potentieller Störungsvorticity q′ = 0 im Innern und eine Modifikation mit β ≠ 0 werden mithilfe von Randwellen behandelt, die sich auf den entgegengesetzt gerichteten, pseudo-potentiellen Vorticitygradienten bewegen, die durch den oberen und unteren festen Rand verursacht werden. Durch diese Umformulierung wird es möglich, leicht interpretierbare Gleichungen für optimales instantanes Wachstum abzuleiten. In dem modifizierten Modell ist im Gegensatz zum klassischen Modell die Kopplung zwischen den Amplituden der Randwellen ungleich. Dagegen sind die optimal instantan wachsenden Störungen (OIs) und ihre Wachstumsraten in beiden Modellen identisch. Die Fähigkeit der OIs, ihre Wachstumsraten für längere Zeitintervalle aufrecht zu erhalten, wird untersucht. Diese Fähigkeit hängt von der Ähnlichkeit zwischen den Strukturen der Normalmoden (NM) und der OIs ab und unterscheidet sich folglich für die beiden Modelle. Die singulären Vektoren (SVs) beider Modelle werden berechnet, und es wird gezeigt, dass ihre Wachstumsraten und ihre Entwicklung mithilfe der vorigen Resultate erklärt werden können, d.h. die SV-Wachstumsraten können qualitativ erklärt werden, indem man die OI-Wachstumsraten mit der Fähigkeit der SVs, optimales Wachstum aufrecht zu erhalten, moduliert. Dementsprechend wird die Entwicklung der SVs durch die OI- und NM-Strukturen bestimmt. Die SVs entwickeln sich so, dass sie exakt durch die OI-Strukturen gehen hin zu der Struktur des wachsenden NMs oder dessen "Überbleibseln", falls kein wachsender NM existiert. Die Norm-Abhängigkeit der OIs und SVs wird untersucht, und auf der Basis dieser Resultate ist es möglich, alle hier betrachteten Normen in zwei verschiedene Gruppen mit qualitativ unterschiedlichen Eigenschaften einzuordnen. Die Resultate lassen vermuten, dass die ungleiche Kopplung zwischen den Amplituden der Randwellen, die hier untersucht wird, relevant für schnelles Wachtum von Zyklonen und Petterssen Typ B Zyklogenese sein könnte, falls die vertikale Windscherung mit der Höhe abnimmt.

Document Type: Research Article

DOI: http://dx.doi.org/10.1127/0941-2948/2006/0142

Publication date: August 1, 2006

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