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Ertel's vorticity theorems, the particle relabelling symmetry and the energy-vorticity theory of fluid mechanics

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Abstract:

The various vorticity theorems of Ertel are related to a unique symmetry in the substantial or Lagrangian description of fluid mechanics. According to Noether's theorem, this is the particle relabelling symmetry (PRS), also called exchange symmetry. What is missing is a classification of this symmetry for barotropic and baroclinic fluids and a transformation to the Eulerian frame, revealing the universal and practical implications of this symmetry. The paper shows that the relabelling symmetry is an infinite symmetry like the gauge symmetries in elementary particle physics. It can be parameterised by one free arbitrary function for baroclinic flows and two functions for barotropic flows. In the baroclinic case we get Ertel's potential enstrophy and in the barotropic case the helicity as global conserved quantities. In both cases the conservation laws are explicitly dependent upon arbitrary functions of the physical phase space. The generator of this symmetry can be also transformed to the Eulerian reference space. As a special case we can derive the generators of rotation and translation and the constraints for the related conservation laws of angular and linear momentum. In this case the arbitrary functions depend solely on the space coordinates. This surprising result is an indication that the relabelling generator is of great universal nature. Moreover, this relabelling symmetry is responsible for the closed Eulerian description of fluid mechanics and gives a theoretical explanation of the energy-vorticity theory of fluid mechanics. A dynamic state index (DSI) and a chemical state index (CSI) can be defined for the diagnosis of the weather and climate system as a practical application of this theory.

German
Die verschiedenen Ertel schen Wirbelsätze sind mit einer einzigartigen Symmetrie in der Lagrangeschen Beschreibung der Hydrodynamik verknüpft. Nach dem Theorem von Noether ist dies die sogenannte Umnummerierungssymmetrie oder Austauschsymmetrie. Was fehlt, ist eine Klassifizierung dieser Symmetrie für barotrope und barokline Strömungen und eine Transformation in die Eulersche Darstellung, welche die Universalität und praktische Bedeutung dieser Symmetrie verdeutlicht. Der Artikel zeigt, dass diese Umordnungssymmetrie zu der Gruppe der lokalen, unendlich dimensionalen Symmetrien gehört, ähnlich den Eichsymmetrien in der Physik der Elementarteilchen. Die Symmetrie wird bestimmt durch eine freie Funktion bei baroklinen und zwei freien Funktionen bei barotropen Strömungen. Für barokline Strömungen erhalten wir die Ertel sche potenzielle Enstrophie und im barotropen Fall die Helizität als globale Wirbelerhaltungsgrößen. In beiden Fällen hängen die Erhaltungsgrößen explizit von Funktionen des Phasenraumes ab. Der Generator dieser Symmetrie kann auch in die Eulersche Darstellung überführt werden. Als Spezialfall ergeben sich die Generatoren der Rotation und Translation, sowie die Bedingungen, unter denen der Drehimpuls und Impuls eine Erhaltungsgrösse ist. In diesem Fall hängen die freien Funktionen allein von den Koordinaten des Ortsraumes ab. Dieses überraschende Ergebnis zeigt die große Universalität des Generators der Umordnungssymmetrie. Gleichzeitig ist diese Symmetrie auch verantwortlich für die geschlossene Eulersche Beschreibung der Hydrodynamik und gibt eine theoretische Erklärung für die Energie-Wirbel-Theorie der Hydrodynamik. Als praktische Anwendung wird ein dynamischer und ein chemischer Zustandsindex definiert, die beide zur Diagnose des Wetter- und Klimasystems verwendet werden können.

Document Type: Research Article

DOI: http://dx.doi.org/10.1127/0941-2948/2004/0013-0485

Publication date: December 1, 2004

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