Two dimensional shallow water flow through a valley

Author: Egger, Joseph

Source: Meteorologische Zeitschrift, Volume 13, Number 1, 1 February 2004 , pp. 39-47(9)

Publisher: E. Schweizerbart'sche Verlagsbuchhandlung

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The two-dimensional structure of shallow water flow through a valley with vertical sidewalls is investigated. First, the linear theory of steady flow through a contraction is presented. The related normal modes are decaying exponentially with distance to the walls of the valley for subcritical flow. The complete linear solution for "witch of Agnesi" corrugations exhibits maximum along-valley flow speed and minimum fluid depth at that wall point where the valley width is smallest. The eigenmodes are harmonic for supercritical flow. A rather general solution is presented in this case where a wave train forms downstream of the contraction. In particular, momentum is transferred to the walls in contrast to the prediction of the one-dimensional theory of valley flows. A numerical model with wall-following coordinates is used to extend the results beyond linearity. Flow solutions are found which exhibit the characteristics of a transition from sub- to supercritical flow near the walls with hydraulic jumps downstream of the constriction while the flow is subcritical at the valley's axis. Linear theory is found to be quite useful in predicting the 'critical' parameter sets for which the Froude number first becomes unity at the walls of the valley while being smaller elsewhere.

Die zweidimensionale Stro¨mung von Flachwasser durch ein Tal wird in der Na¨he einer Enge untersucht. Zuna¨chst wird die lineare Theorie fu¨r den stationa¨ren Fall entwickelt. Die Amplituden der Normalmoden nehmen exponentiell von der senkrechten Talwand zur Talmitte hin ab, wenn die Stro¨mung unterkritisch ist. Die gro¨ßten Stro¨mungsgeschwindigkeiten und die geringste Tiefe des Fluids finden sich an der Wand bei der engsten Stelle. Die Normalmoden sind harmonische Funktionen im u¨berkritischen Fall, fu¨r den sich eine recht allgemeine Lo¨sung angeben la¨ßt, bei der sich stromabwa¨rts von der Enge ein Wellenzug bildet. Die Wellen u¨bertragen Impuls auf die Wand. Die eindimensionale Theorie erfaßt diese Situation nicht. Ein numerisches Modell, das der Talform angepaßte Koordinaten verwendet, wird eingesetzt, um den Parameterbereich jenseits der Linearita¨t zu betreten. Dabei zeigen sich Muster, bei denen die Stro¨mung in Wandna¨he von unterkritisch zu u¨berkritisch umschla¨gt mit nachfolgendem hydraulischem Sprung wa¨hrend sie la¨ngs der Talachse durchgehend unterkritisch ist. Die lineare Theorie ist jedoch in der Lage, die Parameterkombinationen des Umschlags gut zu erfassen, fu¨r die die Froudezahl bei sonst unterkritischer Stro¨mung an der Wand den Wert eins erreicht.


Document Type: Research Article


Publication date: February 1, 2004

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