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POP-analysis and sampling interval

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The POP-analysis applies a regressive model of first order with time step Dt to the data of a multivariate process. In many cases, Dt is the sampling interval of these data. Main frequencies, principal oscillation patterns (POPs) and forcing intensities are determined this way. These results of the POP-analysis depend, of course, on Dt. On the other hand, one is mainly interested in the true frequencies of the process investigated. A damped linear oscillator of frequency ω and damping rate ε with white noise forcing is chosen to study the sensitivity of POP-results to the choice of Dt. Such a process is ideally suited for a POP-analysis. The deviation of the POP-frequencies from the true frequency of the oscillator is caused exclusively by the choice of a finite time step Dt. The analytic solution to this problem shows that the POP-analysis underestimates the damping rate if ε > |ω|. Large overestimates occur for ω2 Dt » ε. Frequencies are almost always underestimated but the deviations are small except for εDt ≥ 0.2, and/or for oscillations with periods T 0 ≤ 8Dt. Forcing intensities are captured quite well unless εDt > 0.2 and/or ωDt < 0.6. These results are generalized. It is shown that the error estimates for frequencies and damping rates as derived for the two-dimensional model are also valid in POP-analyses of higher dimensions.

Bei der POP-Analyse wird ein Regressionsmodell 1. Ordnung mit dem Zeitschritt Dt auf Daten eines multivariaten Prozesses angewendet. In vielen Fällen ist Dt das Entnahmeintervall dieser Daten. Hauptfrequenzen, Principal Oscillation Patterns (POPs) und die Intensität des Antriebs werden so bestimmt. Die Ergebnisse der POP-Analyse hängen natürlich von Dt ab. Andererseits ist man hauptsächlich an den wahren Frequenzen des untersuchten Prozesses interessiert. Eine gedämpfte lineare Schwingung mit Frequenz ω und Dämpfungsrate ε mit einem Antrieb aus weißem Rauschen wurde gewählt, um die Empfindlichkeit der POP-Ergebnisse bezüglich der Wahl von Dt zu untersuchen. Ein derartiger Prozess ist für eine POP-Analyse ideal geeignet. Die Abweichung der POP-Frequenzen von den wahren Frequenzen des Oszillators wird ausschließlich von der Wahl des finiten Zeitschritts Dt verursacht. Die analytische Lösung dieses Problems zeigt, dass die POP-Analyse die Dämpfungsrate unterschätzt, wenn ε > |ω| ist. Große Überschätzungen treten bei ω2 Dt » ε ein. Die Frequenzen werden so gut wie immer unterschätzt aber die Abweichungen sind klein, es sei denn εDt > 0.2 oder es gelte für Perioden der Schwingungen T 0 < 8Dt. Die Intensitäten des Antriebs werden gut erfasst, es sei denn εDt > 0.2 und/oder ωDt < 0.6. Diese Ergebnisse werden verallgemeinert. Es wird gezeigt, dass die Fehlerabschätzungen für Frequenzen und Dämpfungsraten wie sie für ein zweidimensionales Modell hergeleitet werden auch bei POP-Analysen in höheren Dimensionen gültig sind.


Document Type: Research Article

DOI: http://dx.doi.org/10.1127/0941-2948/2001/0010-0351

Publication date: July 1, 2001

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