Problems with complex actions

Authors: Alexanian, G; MacKenzie, R; Paranjape, M B.; Ruel, Jonathan

Source: Canadian Journal of Physics, Volume 85, Number 6, June 2007 , pp. 699-705(7)

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Abstract:

We consider Euclidean functional integrals involving actions that are not exclusively real. This situation arises, for example, when there are t-odd terms in the the Minkowski action. Writing the action in terms of only real fields (which is always possible), such terms appear as explicitly imaginary terms in the Euclidean action. The usual quanization procedure that involves finding the critical points of the action and then quantizing the spectrum of fluctuations about these critical points fails. In the case of complex actions, there do not exist, in general, any critical points of the action on the space of real fields, the critical points are in general complex. The proper definition of the function integral then requires the analytic continuation of the functional integration into the space of complex fields so as to pass through the complex critical points according to the method of steepest descent. We show a simple example where this procedure can be carried out explicitly. The procedure of finding the critical points of the real part of the action and quantizing the corresponding fluctuations, treating the (exponential of the) complex part of the action as a bounded integrable function is shown to fail in our explicit example, at least perturbatively. PACS Nos.: 11.10.-z, 03.70.+k

Nous considérons les intégrales fonctionnelles euclidiennes qui contiennent une action qui n'est pas complètement réelle. Cette situation apparaît, par exemple, quand il existe des termes dans l'action minkowskienne qui sont impairs sous le reversement du temps t. En écrivant l'action uniquement en termes de champs réels (ce qui est toujours possible), ces termes apparaissent de façon explicitement imaginaire dans l'action euclidienne. Le processus de quantification, qui correspond d'abord à la recherche des points critiques de l'action puis à la quantification des fluctuations autour de ces points critiques, ne fonctionne pas, car il n'existe pas en général de point critique d'une action complexe dans l'espace des champs réels. Les points critiques se trouvent dans l'espace du prolongement analytique complexe des champs réels. La définition de l'intégrale fonctionnelle demande alors un prolongement analytique dans l'espace des champs complexes tel que le contour d'intégration passe par les points critiques complexes, selon le chemin impliqué par la méthode du col. Nous montrons un exemple simple où cette procédure peut être effectuée explicitement. La méthode alternative de considérer seulement la partie réelle de l'action et de quantifier les fluctuations correspondantes, traitant (l'exponentielle de) la partie imaginaire comme une fonction bornée intégrable, échoue dans notre exemple, du moins de façon perturbative. [Traduit par la Rédaction]

Document Type: Research article

Publication date: 2007-06-01

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