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The Richit–Richards family of distributions and its use in forestry

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Johnson’s SB and the logit–logistic are four-parameter distribution models that may be obtained from the standard normal and logistic distributions by a four-parameter transformation. For relatively small data sets, such as diameter at breast height measurements obtained from typical sample plots, distribution models with four or less parameters have been found to be empirically adequate. However, in situations in which the distributions are complex, for example in mixed stands or when the stand has been thinned or when working with aggregated data, then distribution models with more shape parameters may prove to be necessary. By replacing the symmetric standard logistic distribution of the logit–logistic with a one-parameter “standard Richards” distribution and transforming by a five-parameter Richards function, we obtain a new six-parameter distribution model, the “Richit–Richards”. The Richit–Richards includes the “logit–Richards”, the “Richit–logistic”, and the logit–logistic as submodels. Maximum likelihood estimation is used to fit the model, and some problems in the maximum likelihood estimation of bounding parameters are discussed. An empirical case study of the Richit–Richards and its submodels is conducted on pooled diameter at breast height data from 107 sample plots of Chinese fir (Cunninghamia lanceolata (Lamb.) Hook.). It is found that the new models provide significantly better fits than the four-parameter logit–logistic for large data sets.

Les équations Johnson SB et logit–logistique sont des modèles de distribution à quatre paramètres qui peuvent être développés à partir des distributions standard normale et logistique par une transformation à quatre paramètres. Pour les jeux de données relativement de petite taille, tels que les mesures de diamètre à hauteur de poitrine obtenues à partir des placettes échantillons typiques, les modèles de distribution à quatre paramètres ou moins se sont avérés empiriquement adéquats. Cependant, dans les situations où les distributions sont complexes, dans les peuplements mélangés par exemple, ou lorsque le peuplement a été éclairci ou encore lorsqu’on veut travailler avec des données agrégées, des modèles de distribution avec plus de paramètres peuvent s’avérer nécessaires. En remplaçant la distribution logistique symétrique standard du modèle logit–logistique par une distribution de «Richards standard» à un paramètre et en faisant la transformation avec la fonction de Richard à cinq paramètres, nous obtenons un nouveau modèle de distribution à six paramètres appelé «Richit–Richards». Ce nouveau modèle inclut les sous-modèles «logit–Richards», «Richit–logistique» et logit–logistique. L’estimation par maximum de vraisemblance est utilisée pour ajuster le modèle et certains des problèmes associés à l’estimation par maximum de vraisemblance des paramètres de démarcation sont discutés. Une étude de cas du modèle Richit–Richards et de ses sous-modèles est réalisée avec des données agrégées de diamètre à hauteur de poitrine provenant de 107 placettes échantillons de sapin de Chine (Cunninghamia lanceolata (Lamb.) Hook.). Le nouveau modèle permet d’obtenir, avec ses sous-modèles, un ajustement significativement meilleur que le modèle logit–logistique à quatre paramètres pour les jeux de données de grande taille.

Document Type: Research Article

Publication date: October 1, 2007

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